idz_elementy_algebry_i_geometrii

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (1; 1) и Q(4; 2);

~

~

b) через точку M(3; 9) параллельно вектору m~ = 4i

5j;

a) точку S(0; 4; 1)

~

6; 1g;

перпендикулярно вектору d = f3;

b) точки M(5; 1; 2); N(6; 3; 3); S(4; 1; 6):

a

x2

2

x

y2

y

b

x

6 +

y2 + 6y = 0;

)

2

+

2

12

12 = 0;

) 22

2

+ 4y + 15 = 0:

c) x

+ 8x + y

24y 12 = 0; d) x

10x y

25. Построить в полярной системе координат кривые

a) = 4 cos 4';

b) = 1 + sin ';

c) = 6 sin ':

26. Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

3x + 5

b)

2x

c)

4x + 1

d)

3x

(

x

x

x

4)

x2

5x

14

x3

2x2

(x2 + 3)(x

2)

2)( 1)( +

3

+ 2x

2

27. Представить дробь

3x

6x + 4

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 2x 3

p

28. Представить числа a = 1 + i;

b = 5 3 + 5i;

c = 2i;

d = 4 в тригонометри-

ческой и показательной формах. Изобразить их на комплексной плоскости.

Найти геометрически сумму чисел a и b; разность чисел c и d:

31. Решить уравнения:

z2

= 0 b) z2

2z + 82 = 0 c) z4

169 = 0 d) z3 + 5z2

8z

12 = 0

a)

3

+ 8

2

4

7z

3

2

+ 63z 108 = 0:

e) z

+ 4z

12z 45 = 0 f) z

+ 3z

32. Даны матрицы

0 1 2 1 1

0 0 5

1 ; C =

A =

; B =

1

:

6 0 1

2

3 4

3 5

2

!

B 3

4 0

C

B

4

2

C

4 0

1

1

@

A

@

A

Найти

a) A

2B;

2A + B b) AB;

BA; AC;

CA c) A 1; B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 24

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

a)

( 3x1

+ 5x2

= 7

b) ( 3x1

+ 5x2

= 8

2x1

+ 7x2

= 1

2x1

+ 7x2

= 9

c)

8 2x1

+ 3x2

2x3

= 8

d)

8 2x1

+ 3x2

2x3

= 3

>

3x1

4x2 + x3

= 0

>

3x1

4x2

+ x3

= 5

.

<

4x1 + x2 + 2x3 = 10

<

4x1 + x2 + 2x3 = 1

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8 3x1

2x2

+ 5x3

= 2

a)

8 3x1

2x2

4x3

= 0

b)

8 2x1 + 3x2

2x3 = 3

>

2x1

+ 3x2

+ 5x3

= 11

>

4x1

2x2

3x3 = 5

>

x1

3x2

+ 4x3

= 3

<

5x1 + x2 2x3 = 5

<

3x1 + 4x2 + 5x3 = 20

<

5x1 8x2 + 13x3 = 8

>

x1

2x2 + 7x3 = 0

>

3x1

4x2 + x3 = 0

>

x1

x2 + 2x3 = 0

d)

:

3x1

4x2 + x3 = 0

e)

:

f)

:

2x1

2x2 + 4x3 = 0

8

8

2x1 + 3x2 + 4x3 = 0

8

>

>

>

35.

<

4x1 + 5x2 2x3 = 0

<

7x1 + 2x2 + 9x3 = 0

<

3x1 3x2 + 6x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3 0

3

@

A

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (1; 4) и Q(2; 5);

~

~

b) через точку M(3; 7) параллельно вектору m~ = i

+ 4j;

a) точку S(3; 4; 5)

~

3; 4g;

перпендикулярно вектору d = f2;

b) точки M(4; 7; 2); N(5; 1; 3); S(4; 6; 3):

a

x2

6

x

y2

y

b

x2

12x + y2

6y

4 = 0;

)

+ 42

32 + 9 = 0;2

)

+ 2

c) 8x 16 y + 4y = 0; d) x + 8x y

10y + 7 = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 4 sin 8';

b) = 6 + cos ';

c) = 10 cos ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

5x + 6

b)

2x

c)

4x 3

d)

4x

x

x

x

x2

(x2 + 3)(x

2)

(

3)

6x + 8

x3

x2

+ 1)(

2)(

3

+ 6x

2

27.

Представить дробь

x

2x + 4

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 + 2x 3

p

28. Представить числа a = 1 i;

b = 8

3 8i;

c = 4i;

d = 6 в тригонометри-

31. Решить уравнения:

z2

= 0 b) z2 + 12z + 100 = 0 c) z6

2

729 = 0 d) z3

7z2

+ 2z + 4 = 0

a)

3

+ 5 2

5z 48 = 0 f) z

4

4z

3

6z

e) z

+ 4z

+ 36z 27 = 0:

32. Даны матрицы

0 3 2 1

; B = 0 4

1 ; C =

0 1 3

1 :

A = 0

1 1

B

2

4

1

B

3

2 0

C

2 4

C

1 5

0 C

2

3 2

B 2 0

@

A

@

A

@

A

Найти

a) A + 3B; 2A

B b) AB; BA;

AC;

CA c) A 1

; B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 25

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

(

3x1

+ 4x2

= 7

( 3x1

+ 4x2

= 0

a)

8

2x1

5x2

=

3

b)

2x1

5x2

= 1

c)

3x1

+ x2

3x3

= 2

d)

8 3x1

+ x2

3x3

= 2

>

6x1

+ 4x2

2x3

= 6

>

6x1

+ 4x2 2x3 = 0

.

< 2x1 + 4x2 5x3 = 5

<

2x1 + 4x2 5x3 = 1

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

3x2 + x3

= 8

a)

8 3x1

+ 5x2

+ 6x3

= 2

b)

8 3x1

5x2

+ 8x3

= 19

c) 8 4x1

>

4x1

+ 3x2

2x3

= 9

>

5x1

2x2

+ 4x3

= 22

>

3x1

x2

+ 2x3

= 6

<

2x1 + 3x2 + x3 = 4

<

6x1 + 4x2 3x3 = 15

<

2x1 + x2 + 3x3 = 4

>

x1

+ 2x2

3x3 = 0

>

4x1

x2 + 2x3

= 0

>

3x1

5x2 + 2x3 = 0

d)

:

3x1

e)

:

2x1

5x3 = 0

:

6x1

8

4x2 + 2x3 = 0

8

+ 3x2

f) 8

10x2 + 4x3 = 0

>

>

>

35.

<

5x1 + 2x2 x3 = 0

<

10x1 + x2 x3

= 0

<

9x1 + 15x2 6x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 26

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8 3x1

2x2 + x3

= 4

x 3z = 1

3x1 2x2 = 8

8 4x 5y + 2z = 5

( 2x + 5z = 13

(

4x1 + 3x2 = 5

>

2x 3y + z = 2

>

4x1

+ x2

2x3

= 9

<

3x + y + 4z = 11

<

2x

1

+ x

2

= 5

>

>

:

~

:

~a

~b

~a

= 4; ~b

= 2; (~a^~b) = 150

KA b

-~a

A

2. Даны векторы

и

: j j

j j

.

~

~

Построить ~a + 2b;

~a b:

3. Даны точки M1(3; 4; 2) и M2(1; 2; 3): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

~

2; 9g:

~a = f1; 2; 3g; b = f 1; 3; 2g;

~c = f7; 3; 5g d = f10;

~

~

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 10; jF2j = 12;

jF~3j = 6; (F~1^F~2) = 60 ; (F~1^F~2) = 135 :

45

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

Силы F1

и F2

6.

F2F1

систему координат. Найти координаты сил в введенной

60

системе.

Определить

модуль и

направляющие

косинусы

~

p

~

p

равнодействующей силы, если jF1j = 2

2; jF2j = 4 3:

~b

;

~a

= 6; ~b

= 8; (~a^~b) = 30 :

~a~b; ~a +~b ; ~a

j

7. Найти

j

j j

j

если j j

j

~

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, заданного векторами j~aj

= 6; jbj = 8;

(~a^~b) = 30 :

9. Даны векторы

~a =

f

4; 2; 4 ;~b =

f

6;

3;

2

:

Найти

~a~b; ~a ; ~b

; (~a^~b);

~a; ~b:

g

g

j

j j j

~b

~a

~

~

заставляют материальную точку перемещаться из M(7; 2; 3)

10. Силы F1

и F2

в N(6; 4; 2): Найти работу совершаемую при этом их равнодействующей,

~

~

= f4; 1; 3g:

если F1 = f5; 0; 3g; F2

~

~

11. Определить взаимное расположение векторов a) ~a

и b; b) ~c и d; если

~

~

~a = f 3; 5; 2g; b = f6; 10; 4g;~c = f7; 3; 4g; d = f6; 2; 9g:

m~ = f4; 6; 5g и ~n = f1; 2; 3g:

~

1; 4g;

13. Найти модуль и направляющие косинусы момента силы F = f1;

приложенной к точке A(3; 5; 4); относительно точки O(4; 5; 2):

~

~ ~

~

~

14. Найти смешанное произведение векторов ~a = 2i + 3j; b = 4i + 2k;

~

~

~c = 4j + k: Верно ли что эти векторы компланарны?

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (2; 1) и Q(5; 4);

~

~

b) через точку M(3; 2) параллельно вектору m~ = 4i

9j;

a) точку S(2; 4; 6)

~

1; 6g;

перпендикулярно вектору d = f2;

b) точки M(4; 1; 1); N(3; 5; 1); S(5; 2; 2):

a

x

y2

2

y

b

x2

x + y2 + 62y

2

24 = 0;

) 3

2 12

6

= 0;

)

+ 8

2

+ 4x y

c) 6x

36x + y

10y 2 = 0; d) x

+ 8y + 13 = 0:

25. Построить в полярной системе координат кривые

a) = 2 cos 4';

b) = 5 sin ';

c) = 8 sin ':

26. Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

3x

b)

4x 1

)

2 3x

c)

x + 2

x

x

x

5)

x3 + 4x2

(x2 + 7)(x

1)

(

x2 + 5x + 4

+ 1)(

4)( +

3

x

2

+ 3x

2

27. Представить дробь

6x

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 3x + 2

p

28. Представить числа a = 2 + 2i;

b = 1 +

3i; c = 4i;

d = 2 в тригонометри-

ческой и показательной формах. Изобразить их на комплексной плоскости.

Найти геометрически сумму чисел a и b; разность чисел c и d:

2

+ 242= 0 b) z

2

+ 4z + 534= 0 c3) z

4

2

3

2

3z 26 = 0

a) z3

49 = 0 d) z

+ 6z

e) z

8z 15z 6 = 0 f) z + 5z 7z

5z + 6 = 0:

32. Даны матрицы

1 ; B = 0

1 ; C =

A = 0 5

1 0

0 1 2

: