idz_elementy_algebry_i_geometrii

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 1

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8

6x1

5x2 + 7x3

= 5

(

(

8 x y 5z = 1

x + 2y =

1

3x1

x2

= 1

>

2x + 3y

4z = 8

>

x1

+ 2x2

x3

=

3

3x + 3y = 3

5x1 + 2x2

= 1

<

5x

2y + 3z = 1

<

7x

1

+ 3x

2

+ 3x

3

= 5

>

>

~a

~b

~a = 5; ~b

:

~

-~a

:

= 4; (~a^~b) = 45

b

2. Даны векторы

и

: j j

j

j

.

~

~

Построить ~a + 2b;

2~a b:

3. Даны точки M1(2; 0; 1) и M2(3; 2; 2): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2

:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

7g;

~

13g:

~a = f 2; 5; 1g; b = f3; 2;

~c = f4; 3; 2g d = f 4; 22;

координат. Найти координаты сил в введенной системе. Определить модуль

~

~

p

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 2; jF2j = 3 2;

jF~3j = 4; (F~1^F~2) = 135 ; (F~1^F~3) = 30 :

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

F1

Силы F1

и F2

систему координат. Найти координаты сил в введенной

* 45

6.

A

системе.

Определить

модуль

и

направляющие

косинусы

UA

F2

j

~

j

j

~

j

p

равнодействующей силы, если

F1

= 4;

F2

=

6:

30

~a~b; ~a +~b ; ~a

~b

;

~a

= 7;

~b

j

= 3; (~a^~b) = 30 :

7. Найти

j

j j

j

если j

j

j

~

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, заданного векторами j~aj = 7; jbj = 3;

(~a^~b) = 30 :

9. Даны векторы

~a =

f

1; 0; 4

g

;~b =

f

2; 3;

1

:

Найти

~a~b; ~a ;

~b

; (~a^~b);

~a;

~b:

g

j j

j j

~b

~a

~

~

заставляют материальную точку перемещаться из M(2; 0; 3)

10. Силы F1

и F2

в N(1; 0; 4): Найти работу совершаемую при этом их равнодействующей,

~

~

если F1

= f0; 1; 3g; F2 = f 3; 2; 2g:

~

~

11. Определить взаимное расположение векторов a) ~a и b; b) ~c и d; если

~

~

~a = f1; 2; 1g; b = f 1; 0; 1g;~c = f1; 1; 2g; d = f 3; 3; 6g:

12.

Найти площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах

m~ = f2; 0; 6g и ~n = f3; 1; 2g:

~

1; 2g;

13. Найти модуль и направляющие косинусы момента силы F = f1;

приложенной к точке A( 2; 1; 2); относительно точки O( 2; 5; 3):

14.

~ ~

~ ~

~

~

Найти смешанное произведение векторов ~a = 4i + j + 2k; b = 2j + 3k;

~ ~

~

~c = i + 2j + k: Верно ли что эти векторы компланарны?

15.

Найти объемы параллелепипеда и тетраэдра, построенных на векторах

~

~a = f1; 2; 1g; b = f0; 3; 4g;~c = f 2; 7; 7g:

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P ( 5; 9) и Q(1; 4);

~

~

b) через точку M( 3; 2) параллельно вектору m~ = 6i

9j;

a) точку S( 5; 2; 9)

~

1; 3g;

перпендикулярно вектору d = f4;

b) точки M(5; 4; 2); N(5; 3; 1); S(2; 7; 7):

a

x2

x

9y2 + 18y

24 = 0; b) 4x2

4x + 4y2

48y

24 = 0;

) 42

16 +

2

2

c) x

12x y

8y + 3 = 0; d) 4x 12 + y

+ 6y = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 3 sin 3';

b) = 2 cos '; c) = 4 cos ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

3x + 1

2x + 1

3x + 4

3x

a)

b)

c)

d)

x

+ 3)(

x

x

1)

x2 + x

12

x3

4x

(x2 + 5)(x

2)

(

2)(

3

2

27.

Представить дробь

x

x

3x + 7

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 + 5x 6

p

d = 4 в тригонометри-

28. Представить числа a = 3 + 3i; b = 2 3 2i;

c = 5i;

A = 0 3

2

4

1

; B = 0 2 3

0 1

; C =

0 4

5 1

:

B

5

0

2

C

B

4

2

1

B

2

3

C

1

6

1

5

0

2 C

0

1

@

A

@

A

@

A

Найти

a) A + 4B;

2A

B b) AB;

BA; AC;

CA c) A 1; B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 1

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

a)

( 43x11 3x22 = 15

b)

( 4x11 3x22 = 21

8

x + 5x = 4

3x + 5x = 3

c)

2x1

+ 4x2

x3

= 14

d)

8 2x1

+ 4x2

x3 = 1

>

4x1 3x2 + 2x3

= 10

>

4x1

3x2

+ 2x3 = 2

<

x1 + 3x2 + 2x3 = 1

<

x1 + 3x2 + 2x3 = 0

>

>

:

:

34. Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8 3x1

2x2

+ 2x3

= 3

a)

8 2x1

+ x2

3x3

= 6

b)

8 2x1

3x2

+ 2x3

= 20

>

6x1

+ 3x2

+ 4x3

= 8

>

4x1

+ 7x2

5x3

= 22

>

x1

+ 4x2

7x3

= 4

<

3x1 + 2x2 + 2x3 = 7

<

3x1 + 5x2 = 4

< 10x1 2x2 x3 = 13

>

x1

2x2 + 5x3 = 0

>

3x1 + 5x2

2x3 = 0

>

3x1

6x2 + 9x3 = 0

d)

:

3x1

4x3 = 0

e)

:

x1

f)

:

2x1

4x2 + 6x3 = 0

8

+ 2x2

8

2x2 + 4x3 = 0

8

>

>

>

35.

<

5x1 x2 + 3x3 = 0

<

6x1 x2 + 10x3 = 0

<

4x1 8x2 + 12x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A = 0

1

3

2

1

:

B

2

0

6

C

1

0

1

@

A

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P ( 6; 7) и Q(2; 5);

~

~

b) через точку M(2; 3) параллельно вектору m~ = 4i

7j;

a) точку S(6; 2; 3)

~

перпендикулярно вектору d = f4; 3; 8g;

a

x2

x 4y2 + 32y

1 = 0; b) x2

8x + 4y2

48y

9 = 0;

) 42

16 + 2

2

c) x

10x y

8y 5 = 0; d) 6x 18 + y

+ 8y = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 4 cos 4';

b) = 3 sin ';

c) = 2 sin ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

4x + 2

b)

3x + 2

c)

2x + 1

d)

3x

x

4)(

x

x

2)

x2

3x + 2

x3 + 4x2

(x2 + 3)(x + 1)

(

+ 1)(

3

2

27.

Представить дробь

5x

5x

5x 5

в виде суммы целой части и элементарных

x2 + 3x 10

дробей.

p

c = 7i; d = 2 в тригонометри-

28. Представить числа a = 6 + 6i; b = 5 3 + 4i;

31. Решить уравнения:

z2

= 0 b) z2

2z + 10 = 0 c) z4

16 = 0 d) z3

2z2 + 5z

10 = 0

a)

3

+ 3 2

4

3z

3

2

e) z

5z

+ 11z 15 = 0 f) z

+ 6z

12z + 8 = 0:

32. Даны матрицы

1 1

; B = 0 0

2 1

; C = 0 1

2 1

A = 0

1 5

3

:

B

3

2

0

B

4

5

1

C

B

4

1

C

5 2

1 C

3

1

2

0

5

@

A

@

A

@

A

Найти

a) A

4B;

2A + B b) AB;

BA;

AC;

CA c) A 1; B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 2

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

( 3x1

+ 2x2

= 5

(

3x1

+ 2x2

= 1

a)

x1

2x2

= 7

b)

8

x1

2x2 = 4

c)

8 2x1

+ 3x2

x3 = 10

d)

2x1

+ 3x2

x3

= 0

>

5x1 x2

+ 2x3 = 14

>

5x1

x2

+ 2x3

= 3

.

<

4x1 3x2 2x3 = 7

<

4x1 3x2 2x3 = 2

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8 4x1

+ 3x2

+ 2x3

= 7

a)

8 4x1

+ 3x2

2x3

= 3

b)

8 3x1

2x2

+ 4x3 = 21

>

5x1

2x2

+ 3x3

= 19

>

2x1

+ x2

7x3

=

17

>

5x1

x2

3x3

= 6

<

x1

3x2 + 5x3 = 16

<

6x1 + 2x2 3x3 = 7

< 3x1 + 7x2 + 7x3 = 8

>

3x1

2x2 + x3 = 0

>

2x1

+ 5x2

3x3 = 0

>

15x1

3x2 + 6x3 = 0

d)

:

4x1

5x3 = 0

e)

:

x1

f)

:

10x1

2x2 + 4x3 = 0

8

+ 3x2

8

2x2 + 4x3 = 0

8

>

>

>

35.

<

2x1 3x2 2x3 = 0

<

5x1 x2 + 9x3 = 0

<

5x1 x2 + 2x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A = 0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3