idz_elementy_algebry_i_geometrii

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (3; 2) и Q(0; 6);

~

~

b) через точку M(9; 4) параллельно вектору m~ = 2i

3j;

a) точку S(1; 3; 6)

~

5g;

перпендикулярно вектору d = f2; 4;

b) точки M(3; 2; 0); N(5; 2; 7); S(2; 5; 3):

a

x2

8

x

y2

y

12 = 0;

b

2x + 10 + y2

10y = 0;

)

2

+ 42

+ 24

)

2

+ 10x y

2

c) x

2x + y

12y 12 = 0; d) x

4y + 15 = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 2 cos 2';

b) = 4 + sin ';

c) = 2 sin ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

6x 2

b)

2x + 6

c)

3x 1

d)

3x

x

x

x2

5x + 4

(x2 + 8)(x

6)

(

x

3)

x3

5x2

8)( 4)( +

3

+ 4x

2

27.

Представить дробь

x

4x + 1

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 2x + 1

p

c = 9i; d = 5 в тригонометри-

28. Представить числа a = 8 + 8i; b = 3

3 3i;

31. Решить уравнения:

z2

+ 152= 0 b)

z2

z

c) z4

2

25 = 0 d) z3 + 4z2

6z

12 = 0

a)

3

8 + 524= 0

3

5z + 6 = 0:

e) z

2z 9z + 12 = 0 f) z + 5z

7z

32. Даны матрицы

0

1 ; B =

0 4

3 1

A =

4

2 3

2

; C =

:

1 5

0

3

1 0

1

6

3

!

B

5

1

C

B

2

0

1 C

0

5

2

4

@

A

@

A

Найти

a) 2A

B; A + B b) AB; BA;

AC;

CA c) A 1;

B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 14

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

( 5x1

+ 6x2

= 4

(

5x1 + 6x2 = 1

a)

3x1

2x2

= 8

b)

3x1

2x2

= 2

c)

8 3x1

2x2

+ 3x3

= 11

d)

8 3x1

2x2

+ 3x3

= 1

>

2x1 + x2

3x3

= 0

>

2x1 + x2

3x3

= 0

.

<

4x1 5x2 + 2x3 = 15

<

4x1 5x2 + 2x3 = 1

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8 3x1

5x2 + 2x3 = 10

a)

8 2x1

4x2

5x3

= 7

b)

8

4x1

+ 3x2

= 11

>

4x1

7x2

3x3

=

17

>

3x1

5x2

+ 2x3

= 5

>

4x1

+ x2

5x3 = 2

5x1 7x2 + 3x3 = 9

<

4x1 + 3x2 2x3 = 8

<

<

10x1

9x2

x3 = 18

>

x1

2x2 + 7x3 = 0

>

4x1 + 2x2

x3 = 0

>

x1

4x2 + 5x3 = 0

:

3x1 + 5x2

e) 8

:

4x2 + 3x3 = 0

:

d)

8

x3 = 0

x1

f)

8

2x1

8x2 + 10x3 = 0

>

>

>

35.

<

2x1 + 4x2 + 3x3 = 0

<

7x1 10x2 + 8x3 = 0

<

3x1 + 12x2 15x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (3; 2) и Q(4; 3);

~

~

b) через точку M( 6; 4) параллельно вектору m~ = 2i

5j;

a) точку S(2; 5; 1)

~

7g;

перпендикулярно вектору d = f4; 3;

b) точки M(3; 2; 1); N(5; 2; 7); S(2; 5; 3):

a

x2

x + y2 + 10y

2 = 0; b) x2

8x + y2 + 6y

24 = 0;

) 6

36

2

2

2

c) 3x 9 y

+ 8y = 0; d) x

4x y + 8y + 13 = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 8 sin 8';

b) = 2 + cos ';

c) = 4 cos ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

x + 1

b)

2x 1

c)

3x 4

d)

3x

x

x

x

3)

x2

6

(x2 + 6)(x

1)

(

1)(

5x

x3

8x2

2)(

+

3

+ 4x

2

27.

Представить дробь

4x

4x 1

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 + x 6

p

d = 2 в тригонометри-

28. Представить числа a = 3 3i; b = 2

3 2i;

c = i;

31. Решить уравнения:

z2

z2

z

13 = 0 c) z4

2

144 = 0 d) z3

3z2 + 2z + 60

= 0

a)

3 + 112= 0 b)

+ 12 +

4

+ 3z

3

5z

e) z

+ 8z 15z + 6 = 0 f) z

3z + 4 = 0:

32. Даны матрицы

4 1

; B = 0 0

2 1

; C = 0

1 1 :

A = 0

2 1

3

3

B

1

0

3

B

1

4

5

B

4

2

C

3 2

0 C

2

1

2 C

0

2

@

A

@

A

@

A

Найти

a) A + 2B;

2A

B b) AB; BA;

AC;

CA c) A 1;

B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 15

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

(

2x1 + 3x2

= 1

(

2x1

+ 3x2

= 2

a)

3x1

7x2

= 13

b)

3x1

7x2

= 0

c)

8 3x1

+ 2x2

+ x3

= 9

d) 8 3x1

+ 2x2

+ x3

= 1

>

2x1

x2 + 3x3

= 6

>

2x1

x2

+ 3x3 = 0

.

< x1 + 4x2 2x3 = 4

<

x1 + 4x2 2x3 = 1

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8 3x1

2x2

+ 2x3

= 3

a)

8 2x1

+ x2

3x3 = 6

b)

8

3x1 + 5x2

= 4

>

6x1

+ 3x2 + 4x3 = 8

>

4x1

+ 7x2 5x3

=

22

>

x1

+ 4x2

7x3

= 4

<

3x1 + 2x2 + 2x3 = 7

<

2x1 3x2 + 2x3 = 20

<

10x1 2x2 x3 = 13

>

3x1 + x2

2x3 = 0

>

3x1 + 4x2

x3 = 0

> x1

3x2 + 2x3 = 0

d)

:

4x1 + 3x2 + x3 = 0

e)

:

2x1

f)

:

3x1

9x2 + 6x3 = 0

8

8

3x2 + 2x3 = 0

8

>

2x1 + 5x2 3x3 = 0

>

>

35.

<

<

9x1 5x2 + 5x3 = 0

<

2x1 6x2 + 4x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 16

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8

4x1

+ 2x2

x3 = 5

(

(

8

3x + 2y = 1

3x + 4z = 2

4x1

3x2

= 15

>

4x y + z = 8

>

2x1 3x2 + x3 =

1

2x 5z = 9

2x1

+ 7x2

= 1

<

2x

y + 3z = 12

<

x

1

+ 4x

3

= 13

>

>

:

~

:

~a

~b

~a

= 3;

~b

= 2; (~a^~b) = 135

KA b

A -~a

2. Даны векторы

и

: j j

j j

.

~

~a

~

Построить 2~a + b;

2b:

3. Даны точки M1(4; 1; 5) и M2(3; 2; 1): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

~

5; 2g:

~a = f6; 4; 1g; b = f 3; 0; 2g; ~c = f2; 3;

1g d = f3;

координат. Найти координаты сил в введенной системе. Определить модуль

~

~

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 4; jF2j = 8;

jF~3j = 20; (F~1^F~2) = 45 ; (F~1^F~2) = 120 :

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

Силы F1

и F2

60

систему координат. Найти координаты сил в введенной

6.

F1

R@

системе.

Определить

модуль

и

направляющие

косинусы

45 F2

~

~

равнодействующей силы, если jF1j = 20; jF2j = 30:

~a~b; ~a +~b

; ~a

~b

;

~a

= 2; ~b

j

= 4; (~a^~b) = 60 :

7. Найти

j

j

j

j

если j j

j

~

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, заданного векторами j~aj

= 2; jbj = 4;

(~a^~b) = 60 :

9. Даны векторы

~a =

f

2;

1; 4 ;~b =

f

3; 1; 0

:

Найти

~a~b; ~a

;

~b

; (~a^~b);

~a;

~b:

g

g

j j

j j

~b

~a

~

~

заставляют материальную точку перемещаться из M(4; 0; 5)

10. Силы F1 и F2

в N(8; 3; 2): Найти работу совершаемую при этом их равнодействующей,

~

~

= f2; 4; 5g:

если F1 = f3; 2; 1g; F2

~

~

11. Определить взаимное расположение векторов a) ~a и b; b) ~c и d; если

~

~

6;

6g:

~a = f 2; 3; 4g; b = f4;

6; 8g;~c = f6; 1; 2g; d = f3;

m~ = f3; 1; 0g и ~n = f2; 6; 1g:

~

13. Найти модуль и направляющие косинусы момента силы F = f4; 1; 2g;

приложенной к точке A(4; 1; 3); относительно точки O(5; 1; 0):

~

~ ~

~ ~

14. Найти смешанное произведение векторов ~a = 4i

k; b = 3i + 2j;

~

~

~c = j + k: Верно ли что эти векторы компланарны?

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (0; 2) и Q(4; 1);

~

~

b) через точку M(4; 4) параллельно вектору m~ = 7i

+ 5j;

a) точку S(3; 4; 6)

~

7g;

перпендикулярно вектору d = f4; 3;

b) точки M(3; 2; 1); N(2; 2; 7); S(2; 6; 3):

a

x

16

y2

y

b

x2

x

y2

32y + 9 = 0;

) 82

2+ 4 = 0;

)

62

+ 4

2

+ 10y + 7 = 0:

c) x

+ 12x + y

6y 4 = 0; d) x

8x y

25. Построить в полярной системе координат кривые

a) = 3 cos 6';

b) = 4 sin ';

c) = 2 sin ':

26. Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

3x + 1

b)

2x 5

c)

3x + 7

d)

9x

x

x

x

3)

x2 + 3x + 2

x3 + 3x2

4)

(

(x2 + 25)(x

1)(

2)( +

3

4x

2

+ 4x 4

27. Представить дробь

x

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 4x + 3