idz_elementy_algebry_i_geometrii

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (5; 1) и Q(0; 1);

~

~

b) через точку M( 3; 4) параллельно вектору m~ = 2i

3j;

a) точку S(1; 5; 7)

~

2; 7g;

перпендикулярно вектору d = f3;

b) точки M(0; 2; 1); N(5; 3; 7); S(4; 2; 5):

2

+ 4x + 6y2

2

4x2+ y

2

+ 8y2 5 = 0;

a) x2

8 = 0; b) x

c) x

6x + 4y + 4y 6 = 0; d) x + 8x y 10y + 7 = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 6 sin 6'; b) = 1 cos ';

c) = 8 cos ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

2x 5

b)

x 4

c)

x + 5

d)

3x

x

x

x

18

(x2

4)(x

4)

(

3)

x2 + 3x

x3 + 7x

6)( 2)(

3

+ 3x

2

27.

Представить дробь

x

+ 3x + 1

в виде суммы целой части и элементарных

x2 + 4x 5

дробей.

p

28. Представить числа a = 4 + 4i;

b = 2

3 2i; c = 8i; d = 7 в тригонометри-

31. Решить уравнения:

z2

z2

z

50 = 0 c) z4

2

256 = 0 d) z3

5z2 + 6z + 40 = 0

a)

3 + 202= 0 b)

+ 2

+

4

6z

3

+ 4z

e) z

+ 7z 3z 9 = 0 f) z

+ 24z 32 = 0:

32. Даны матрицы

1 1

; B = 0 2

1

; C = 0

5 1

A = 0

4

1

5 4

4

:

B

3

2

4

C

B

1

3

1

C

B

2

1

5 3

2

0

1 2

1

0 C

@

A

@

A

@

A

Найти

a) A + 2B;

3A

B b) AB; BA;

AC;

CA c) A 1;

B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 11

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

a)

( 3x1

1

5x2

= 14

b)

( 3x1

5x2

= 3

2x

+ 7x2 = 1

2x1 + 7x2 = 2

c)

8 2x1

= 8

d)

8 2x1

+ 3x2

+ 4x3

+ 3x2

+ 4x3

= 2

>

3x1

4x2

+ x3

= 0

>

3x1

4x2

+ x3

= 1

.

< 4x1 + x2 + 2x3 = 10

<

4x1 + x2 + 2x3 = 0

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

8 2x1

3x2

+ 5x3

= 6

a)

8 5x1

2x2

3x3

= 12

b)

8 3x1

5x2

2x3

= 1

c)

>

7x1

+ 3x2

4x3

= 15

>

4x1

2x2

+ 3x3

= 4

>

x1

+ 3x2

4x3

= 5

<

x1 + 3x2 + 2x3 = 3

<

2x1 + 3x2 + 6x3 = 5

< 3x1 9x2 + 14x3 = 7

>

x1 + 2x2

3x3 = 0

>

4x1

x2 + 2x3 = 0

>

3x1

5x2 + 2x3 = 0

d)

:

3x1

e)

:

5x3 = 0

f)

:

6x1

8

4x2 + 2x3 = 0

8

2x1 + 3x2

8

10x2 + 4x3 = 0

>

>

>

35.

<

5x1 + 2x2 x3 = 0

<

10x1 + x2 x3 = 0

<

9x1 + 15x2 6x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 12

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8

3x1 + x2 = 8

(

(

8

4x + y z = 4

4x

3z = 11

2x1 + 3x2 = 7

>

3x 2y + 4z = 1

>

2x1 + 3x2

x3

= 4

5x + z = 9

5x1

7x2 = 3

<

2x

y = 3

<

4x

1

2x

2

+ x

3

= 13

>

>

:

~

:

~a

~b

~a

= 4; ~b

= 2; (~a^~b) = 120

KA b

A -~a

2. Даны векторы

и

: j j

j j

.

~

~

Построить 2~a + b;

~a + 2b:

3. Даны точки M1(4; 5; 1) и M2(2; 3; 1): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

~c = f3; 9; 2g

~

~a = f10; 3; 1g; b = f1; 4; 2g;

d = f19; 30; 7g:

~

~

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 20; jF2j = 30;

jF~3j = 25; (F~1^F~2) = 45 ; (F~1^F~3) = 120 :

60

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

Силы F1

и F2

6.

F2F1

систему координат. Найти координаты сил в введенной

30

системе.

Определить

модуль

и

направляющие

косинусы

~

p

~

равнодействующей силы, если jF1j = 20 3; jF2j = 40:

~a~b; ~a +~b

; ~a

~b

;

~a

= 10; ~b

j

= 6; (~a^~b) = 30 :

7. Найти

j

j

j

j

если j j

j

~

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, заданного векторами j~aj

= 10; jbj = 6;

(~a^~b) = 30 :

9. Даны векторы

~a =

f

2;

1; 4 ;~b =

f

3; 4; 5

:

Найти

~a~b; ~a

;

~b

; (~a^~b);

~a;

~b:

g

g

j

j

j j

~b

~a

~

~

заставляют материальную точку перемещаться из M(2; 1; 3)

10. Силы F1

и F2

в N(4; 1; 1): Найти работу совершаемую при этом их равнодействующей,

~

~

= f1; 1; 4g:

если F1 = f3; 0;

5g; F2

~

~

11. Определить взаимное расположение векторов a) ~a и b; b) ~c

и d; если

~

~

2g:

~a = f 1; 2; 3g; b = f1; 2; 3g;~c = f3; 2; 1g; d = f2; 4;

m~ = f2; 5; 1g и ~n = f3; 1; 0g:

~

13. Найти модуль и направляющие косинусы момента силы F = f4; 3; 5g;

приложенной к точке A(2; 1; 1); относительно точки O(3; 1; 1):

~

~

~ ~

~

~

14. Найти смешанное произведение векторов ~a = 2i

3j + 5k; b = i

4k;

~

~

~c = 3j + 2k: Верно ли что эти векторы компланарны?

a) точку S(3; 4; 7)

~

6g;

перпендикулярно вектору d = f4; 3;

b) точки M(4; 2; 1); N(5; 6; 1); S(2; 2; 3):

2

2

x

y2

y

a) x

2 16x + 9y2

6y + 1 = 0; b) 42

+

82

+ 6 = 0;

c) 4x

4x + 4y

+ 4y 7 = 0; d) x

8x y + 6y 2 = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 8 cos 4'; b) = 1 sin ';

c) = 6 sin ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

x 2

b)

2x 7

c)

3x + 1

d)

2x

x

x

x

(x2 + 3)(x

1)

(

+

3)

x2 + 3x

10

x3

7x2

+ 4)( 6)(

3

+ 3x

2

27.

Представить дробь

x

3x

1

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 + 2x 8

p

d = 2 в тригонометри-

28. Представить числа a = 2 + 2i; b = 5 5

3i;

c = 3i;

A = 0

3

4

5

1 ; B =

0 3

1 1

1 ; C =

:

B

1

0

1

C

B

6

0

4

C

3

2

1

!

2

5

1

2

2

5

0

3

3

@

A

@

A

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 12

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

( 3x1

+ 4x2

= 2

( 3x1

+ 4x2

= 0

a)

8

2x1

5x2

= 9

b)

2x1

5x2

= 1

c)

3x1

+ x2

3x3

= 4

d)

8 3x1

+ x2

3x3

= 2

>

6x1

+ 4x2

2x3

= 3

>

6x1

+ 4x2

2x3

= 0

.

<

2x1 + 4x2 5x3 = 0

<

2x1 + 4x2 5x3 = 1

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8

4x1 + 3x2

+ 4x3 = 5

a)

8 2x1 + 3x2 + 5x3

= 9

b)

8 3x1

6x2 + 4x3 = 13

>

5x1

3x2

+ 4x3

= 10

>

4x1

5x2

2x3

= 1

>

3x1

52

+ x3 = 7

10x1 7x2 2x3 = 19

<

4x1 + x2 + 3x3 = 15

<

6x1 3x2 + 5x3 = 4

<

>

2x1

4x2 + x3 = 0

> x1

+ 4x2

3x3

= 0

>

x1

x2 + x3 = 0

d)

:

2x3 = 0

e)

:

= 0

f)

:

2x1

8 x1 + 3x2

8

5x1

3x2 + 4x3

8

2x2 + 2x3 = 0

>

>

>

35.

<

4x1 + x2 3x3 = 0

<

7x1 + 5x2 2x3

= 0

<

3x1 3x2 + 3x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A