idz_elementy_algebry_i_geometrii

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (4; 1) и Q(2; 7);

~

~

b) через точку M( 1; 8) параллельно вектору m~ = 3i

9j;

a) точку S( 4; 3; 5)

~

4; 9g;

перпендикулярно вектору d = f1;

b) точки M(2; 3; 5); N(5; 0; 1); S(7; 3; 2):

a

x2

x 4y

12 = 0; b) 6x2

2

12x + y2 + 12y

7 = 0;

)

2

10 + 2

+ 10x + y

2

c) x

8x y + 8y 25 = 0; d) x

4y 7 = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 3 cos 3';

b) = 3 + sin '; c) = 4 sin ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

2x 2

b)

3x 6

c)

3x 2

d)

7x

(x 4)(x 3)(x + 1)

3

x2 2+ x 2

x3 3x2

(x2 + 2)(x + 4)

27.

Представить дробь

3x

+ 4x + 5x 7

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 x 6

p

d = 4 в тригонометри-

28. Представить числа a = 4 4i; b = 3 + i; c = 6i;

Результаты представить в алгебраической форме.

30. Решить уравнение z3 + 8 = 0: Корни изобразить на комплексной плоскости.

31. Решить уравнения:

z2

z2

z

10 = 0 c) z4

2

256 = 0 d) z3 + 4z2

13z

16 = 0

a)

3 + 102= 0 b)

+ 6 +

4

5z

3

3z

e) z

+ 3z 6z 8 = 0 f) z

+ 45z 54 = 0:

32. Даны матрицы

2 1

; B = 0 3 1

4 1

A = 0

4 5

; C =

:

B

3 2

1

C

B

1 5

2

3

2 1

!

0

1

1

2 0

3 C

0 5 6

@

A

@

A

Найти

a) 2A

B;

A + 5B b) AB;

BA;

AC;

CA c) A 1; B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 4

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

a)

( 4x11

3x2

= 15

b)

( 4x1 1

3x2 = 21

3x + 5x2 = 4

3x

+ 5x2 = 3

c)

8

x3

= 14

d)

8

= 6

2x1 + 4x2

2x1

+ 4x2

x3

>

4x1

3x2

+ 2x3

=

10

>

4x1

3x2

+ 2x3

= 3

.

<

x1 + 3x2 + 2x3 = 1

< x1 + 3x2 + 2x3 = 15

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8

2x1

+ x2

2x3

= 6

a)

8

2x1 + 4x2 + x3

= 20

b)

8 4x1

+ 5x2

3x3

= 26

>

5x1

3x2

+ 4x3

=

1

>

2x1

3x2

+ 4x3

= 2

>

x1 3x2

+ 6x3

= 3

<

3x 5x + 3x = 17

< 5x + 3x

+ 4x = 8

<

5x1

x2 + 2x3 = 15

>

4x11 x22+ 3x33= 0

>x1 +12x2

24x3

=3

0

>

4x1

2x2 + 4x3 = 0

d)

:

5x1

x3 = 0

e)

8

:

f)

:

6x1

3x2 + 6x3 = 0

8

+ 2x2

3x1

3x2 + 2x3 = 0

8

>

>

>

35.

<

3x1 + 7x2 + 4x3 = 0

<

5x1 + x2 6x3

= 0

<

2x1 x2 + 2x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 5

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8 x1

x2

+ x3

= 2

(

(

8

x + y + z = 2

x + 2y = 2

2x1 + 3x2 = 8

>

2x + y + 2z = 6

>

x1

+ x2

x3

= 0

6x 5y = 2

x1

x2

= 1

<

3x

2y + z = 4

<

x

1

+ x

2

+ x

3

= 4

>

>

~a

~b

~a

= 10; ~b

:

~

:

= 5; (~a^~b) = 60 b -~a

2. Даны векторы

и

: j

j

j j

.

~

~

Построить ~a + b;

~a 3b:

3. Даны точки M1(1; 4; 0) и M2( 3; 5; 2): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

~

15g:

~a = f11; 1; 2g; b = f 3; 3; 4g;

~c = f 4; 2; 7g d = f 5; 11;

координат. Найти координаты сил в введенной системе. Определить модуль

~

~

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 6; jF2j = 4;

jF~3j = 3; (F~1^F~2) = 120 ; (F~1^F~3) = 60 :

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

F

Силы F1

и F2

1

60

систему

координат.

Найти

координаты

сил

в

введенной

6.

YHH

F2

системе.

Определить

модуль и

направляющие

косинусы

A

p

UA

j

~

j

j

~

j

равнодействующей силы, если

F1

= 2;

F2

= 3:

60

~a~b; ~a +~b ; ~a

~b

;

~a

j

= 4; ~b

j

= 5; (~a^~b) = 45 :

7. Найти

j

j j

j

если j

j

~

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, заданного векторами j~aj

= 4; jbj = 5;

(~a^~b) = 45 :

9. Даны векторы

~a =

f

0; 1; 1

g

;~b =

f

1; 2; 3

:

Найти

~a~b;

~a

; ~b ; (~a^~b);

~a;

~b:

g

j j

j j

~b

~a

~

~

заставляют материальную точку перемещаться из M(2; 1; 1)

10. Силы F1 и F2

в N(3; 1; 4): Найти работу совершаемую при этом их равнодействующей,

~

~

= f4; 0; 3g:

если F1

= f3; 2; 1g; F2

~

~

11. Определить взаимное расположение векторов a) ~a и b; b) ~c и d; если

~

~

~a = f7; 7; 14g; b = f 8; 8; 16g;~c = f1; 1; 5g; d = f 3; 2; 0g:

m~ = f3; 4; 9g и ~n = f6; 9; 10g:

~

13. Найти модуль и направляющие косинусы момента силы F = f2; 3; 5g;

приложенной к точке A( 2; 3; 1); относительно точки O(2; 1; 0):

~

~

~ ~

~ ~

~

14. Найти смешанное произведение векторов ~a = 3i

j + 2k; b = 5i + 3j + 9k;

~ ~

~

~c = 2i + 4j + 11k: Верно ли что эти векторы компланарны?

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P ( 4; 6) и Q(0; 5);

~

~

b) через точку M(1; 5) параллельно вектору m~ = 3i

2j;

a) точку S( 1; 7; 2)

~

2g;

перпендикулярно вектору d = f4; 3;

b) точки M( 1; 0; 1); N(2; 2; 1); S(4; 7; 5):

a

x2

x

y2

y

b

x2

12x + y2

2y

12 = 0;

)

+ 4

2

10

15 = 0;2

)

+

2

c) 2x + 8 y

+ 6y = 0; d) 4x

24x + y

+ 8y 12 = 0:

25. Построить в полярной системе координат кривые

a) = 6 sin 6';

b) = 4 + cos ';

c) = 2 cos ':

26. Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

2x + 2

b)

3x 6

c)

3x 6

d)

5x

x

x

x

2)

(x2 + 8)(x

4)

(

+ 3)(

x2

x

2

x3

3x2

5)(

3

2

27. Представить дробь

3x

5x

+ 5x 15

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 + x 12

p

28. Представить числа a = 7 7i;

b =

3 3i;

c = 6i;

d = 8 в тригонометри-

ческой и показательной формах. Изобразить их на комплексной плоскости.

Найти геометрически сумму чисел a и b; разность чисел c и d:

29. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел a = 4 + i и b = 1 3i:

Результаты представить в алгебраической форме.

30. Решить уравнение z3 64i = 0: Корни изобразить на комплексной плоскости.

31. Решить уравнения:

z2

+ 122= 0 b)

z2

z

c) z6

2

8 = 0 d) z3 + 5z2

4z

30 = 0

a)

3

+ 8 + 204= 0

3

+ 24z 32 = 0:

e) z

6z + 14z + 4 = 0 f) z

6z

+ 4z

32. Даны матрицы

0 1 ; B =

0 1 1

1 ; C = 0

2 1 :

A = 0 2 4

2

1

B

5

2

6

C

2

3

7

C

B

4

3

3 1 5

B 0 3 4

3 0 C

@

A

@

A

@

A

Найти

a)

A

3B; 2A

B b) AB; BA; AC; CA c) A 1; B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 5

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

(

3x

1 + 2x2 = 4

(

3x1

+ 2x2

= 5

a)

5x1

4x2

= 14

b)

5x1

4x2

= 2

c)

8 2x1

+ 4x2

+ 3x3

= 13

d) 8 2x1

+ 4x2

+ 3x3

= 2

>

5x1

2x2

+ 3x3

= 1

>

5x1

2x2

+ 3x3

= 0

.

<

3

x1 x2 + 2x3 = 1

<

3x1 x2 + 2x3 = 3

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8 2x1

+ 3x2

2x3

= 3

a)

8 2x1

+

4x2

5x3

= 15

b)

8 4x1

+ 2x2

+ 5x3

= 16

>

3x1

+

6x2

4x3

= 12

>

7x1

2x2

+ 3x3

= 0

>

4x1

+ x2

3x3

= 4

<

x1 + 3x2 + 2x3 = 4

< 3x1 + 3x2 + 2x3 = 10

<

2x1 + 8x2 3x3 = 5

>

x1

2x2 + 5x3 = 0

>3x1

+ 5x2

2x3 = 0

>

10x1

20x2 + 30x3 = 0

d)

:

3x1

2x2

4x3 = 0

e) 8

:

x1

f)

:

2x1

4x2 + 6x3 = 0

8

+

2x2 + 4x3 = 0

8

>

>

>

35.

<

5x1 x2 + 3x3 = 0

<

7x1 3x2 + 14x3 = 0

<

8x1 16x2 + 24x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A = 0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 6

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8 2x1

1+ 2x2

4x3 = 0

3x 4z = 1

x1 2x2

= 1

8 x + 5y + 2z = 4

(

2x + 4z = 2

( 3x1 + 2x2

= 1

>

4x 3y + z = 2

>

3x

x2

x3

= 7

<

3x + y

z =

2

<

x

1

+ 2x

2

x

3

= 14

>

>

:

~

:

~a

~b

~a

= 3;

~b

= 5; (~a^~b) = 150

KA b

A -~a

2. Даны векторы

и

: j j

j j

.

~

~

Построить ~a + 3b;

2~a b:

3. Даны точки M1(3; 4; 0) и M2(2; 3; 1): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

~

5; 13g:

~a = f7; 2; 1g; b = f4; 3; 5g; ~c = f3; 4;

2g d = f2;

координат. Найти координаты сил в введенной системе. Определить модуль

~

~

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 4; jF2j = 2;

jF~3j = 2; (F~1^F~2) = 60 ; (F~1^F~2) = 150 :

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

Силы F1

и F2

45

систему координат. Найти координаты сил в введенной

6.

60

R@

системе.

Определить

модуль

и

направляющие

косинусы

F

F1

~

~