idz_elementy_algebry_i_geometrii

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P ( 2; 3) и Q(4; 2);

~

~

b) через точку M(6; 1) параллельно вектору m~ = 5i

2j;

a) точку S(3; 2; 4)

~

перпендикулярно вектору d = f4; 5; 1g;

a

x2

x

y

b

x2

x

y2

4y

6 = 0;

)

2

+ 6

+ 62

4 = 0;

)

62

+ 4

+

2

c) x

4x + y + 8y 5 = 0; d) x + 8x y

10y + 7 = 0:

25.

Построить в полярной системе координат кривые

a) = 2 sin 2'; b) = 4 cos ';

c) = 3 cos ':

26.

Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

3x + 1

b)

x + 1

c)

2x 3

d)

4x

x

x

x

5)

x2 + 2x

8

x3 + 5x2

(x2 + 4)(x

1)

(

3)( 1)(

3

2

27.

Представить дробь

x

2x

+ 4x 6

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 + 2x 3

p

c = 9i; d = 2 в тригонометри-

28. Представить числа a = 3 3i; b = 6

3 6i;

31. Решить уравнения:

z2

10 = 0 b) z2 + 6z + 45 = 0 c) z4

2

4 = 0 d) z3

5z2 + 2z + 32 = 0

a)

3

+

2

+ 13z 13 = 0 f) z

4

7z

3

e) z

z

+ 6z

+ 28z 40 = 0:

32. Даны матрицы

1

0 0

1

0 2 7

1 :

A = 0

2

0

4

; B =

3 4

; C =

B

5

3

1

C

B

4

2 1

C

3 1

C

3 2

5

4

1

3

B 0 2

@

A

@

A

@

A

Найти

a) A + 2B; 2A

B b) AB; BA; AC;

CA c) A 1;

B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 21

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

a)

( 2x1

4x2

= 8

b) ( 2x1

4x2 = 2

3x1

+ 2x2

= 4

3x1 + 2x2 = 3

c)

8 3x1

+ 2x2

+ x3 = 12

d)

8 3x1

+ 2x2

+ x3 = 3

>

2x1

3x2

+ 5x3 = 1

>

2x1

3x2

+ 5x3

= 2

.

<

4x1 + 7x2 + x3 = 7

<

4x1 + 7x2 + x3 = 0

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8

5x1

+ 6x2

3x3

= 2

a)

8 3x1

+ 4x2

+ 5x3

= 15

b)

8 4x1

+ 6x2

3x3

= 12

>

2x1

+ 5x2

+ 6x3

= 14

>

6x1

3x2

+ 5x3

= 11

>

3x1

4x2

+ x3

= 6

2x1 + x2 4x3 = 18

<

<

3x1 4x2 + 2x3 = 9

<

4x1 18x2 + 6x3 = 16

>

4x1

x2 + 3x3 = 0

>

x1

+ 2x2

4x3 = 0

>

4x1

2x2

4x3 = 0

d)

:

5x1

x3 = 0

e)

:

3x1

f)

:

6x1

8

+ 2x2

8

3x2 + 2x3 = 0

8

3x2 + 6x3 = 0

>

>

>

35.

<

3x1 + 7x2 + 4x3 = 0

<

5x1 + x2 6x3 = 0

<

2x1 5x2 + 2x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 22

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8 2x1

+ 5x2

3x3

= 4

( 2x z = 0

(

5x1

7x2

= 17

8

4x + y z = 8

2x + z = 4

2x1

+ 3x2

= 1

>

3x 2y + 4z = 4

>

3x1

2x2

+ 4x3

= 5

<

2x

y = 5

<

2x

1

+ x

2

+ x

3

= 0

>

>

:

~

:

~a

~b

~a

= 1; ~b

= 2; (~a^~b) = 150

KA b

-~a

A

2. Даны векторы

и

: j j

j j

.

~

~

~a

~

Построить 23a + b;

2b:

3. Даны точки M1(2; 3; 5) и M2(8; 6; 3): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2

:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

~

2; 3g:

~a = f2; 4; 1g; b = f3;

2; 2g; ~c = f3; 2; 2g d = f5;

~

~

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 40; jF2j = 20;

jF~3j = 15; (F~1^F~2) = 120 ; (F~1^F~3) = 30 :

30

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

Силы F1

и F2

6.

F1F2

систему координат. Найти координаты сил в введенной

45

системе.

Определить

модуль

и

направляющие

косинусы

~

p

~

равнодействующей силы, если jF1j = 6

3; jF2j = 8:

~a~b; ~a +~b

; ~a

~b

;

~a

= 2; ~b

j

= 5; (~a^~b) = 45 :

7. Найти

j

j

j

j

если j j

j

~

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, заданного векторами j~aj

= 2; jbj = 5;

(~a^~b) = 45 :

9. Даны векторы

~a =

f

7;

3; 2 ;~b =

f

3; 0; 4

:

Найти

~a~b; ~a

; ~b

; (~a^~b);

~a;

~b:

g

g

j j

j j

~b

~a

~

~

заставляют материальную точку перемещаться из M(5; 2; 4)

10. Силы F1

и F2

в N(2; 3; 7): Найти работу совершаемую при этом их равнодействующей,

~

~

= f3; 0; 2g:

если F1 = f4; 2; 6g; F2

~

~

11. Определить взаимное расположение векторов a) ~a и b; b) ~c и d; если

~

~

~a = f0; 1; 2g; b = f0; 3; 6g;~c = f3; 2; 1g; d = f2; 4; 2g:

m~ = f3; 6; 2g и ~n = f3; 4; 2g:

~

13. Найти модуль и направляющие косинусы момента силы F = f 2; 4; 1g;

приложенной к точке A(3; 6; 4); относительно точки O(3; 4; 2):

~

~

~ ~

~

~

14. Найти смешанное произведение векторов ~a = 4i

6j + 10k; b = i + 4k;

~

~

~c = 3j + 2k: Верно ли что эти векторы компланарны?

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (1; 4) и Q(5; 6);

~

~

b) через точку M(3; 3) параллельно вектору m~ = 4i

2j;

a) точку S(1; 0; 2)

~

2; 4g;

перпендикулярно вектору d = f3;

b) точки M(3; 2; 1); N(3; 6; 5); S(7; 3; 4):

2

2

x

y2

y

8 = 0;

a) x

2+ 16x + 9y2

+ 6y + 1 = 0; b) 82

+ 82

c) 4x + 4x + 4y

4y 7 = 0; d) x

+ 8x y

6y 2 = 0:

25. Построить в полярной системе координат кривые

a) = 4 cos 6'; b) = 3 sin ';

c) = 2 sin ':

26. Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

3x 1

b)

5x 7

c)

4x 3

d)

2x

x

x

x

(x2 + 5)(x

2)

(

+

1)

x2 + 5x

14

x3

7x2

+ 2)( 4)(

3

2

+ 5x

27. Представить дробь

x

4x

2

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 + 2x 3

p

d = 4 в тригонометри-

28. Представить числа a = 3 + 3i; b = 2 2

3i;

c = 5i;

ческой и показательной формах. Изобразить их на комплексной плоскости.

Найти геометрически сумму чисел a и b; разность чисел c и d:

31. Решить уравнения:

z2

= 0 b) z2

4z + 85 = 0 c) z4

2

100

= 0 d) z3 + 6z2

9z

26 = 0

a)

3

+ 7 2

4

3z

3

+ 3z + 4 = 0:

e) z

4z

3z + 6 = 0 f) z

5z

32. Даны матрицы

1 ; B =

0

1 ; C =

A = 0 6

1 0

3 2

4

:

B

3

2 1

C

B

1 0

2

C

2

4

0

!

3

2

1

5

2

1

4

0 4

@

A

@

A

Найти

a) A

2B;

2A + B b) AB;

BA;

AC;

CA c) A 1; B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 22

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

( 4x1

+ 5x2 = 6

( 4x1

+ 5x2

= 1

a)

3x1 2x2 = 7

b)

3x1

2x2

= 2

c)

8 2x1

= 11

d)

8 2x1

+ 3x2

+ 4x3 = 0

+ 3x2 + 4x3

>

4x1

+ x2

+ 3x3

= 12

>

4x1

+ x2

+ 3x3 = 3

.

<

3x1 + 2x2 x3 = 7

<

3x1 + 2x2 x3 = 1

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8

x1

3x2

+ 2x3

= 3

a)

8 4x1

5x2 + 2x3 = 3

b)

8 2x1 + 6x2

3x3

= 1

>

3x1

+ 2x2

4x3 =

8

>

4x1

5x2

+ 2x3

= 11

>

4x1

+ 22

+ x3

= 5

<

2x1 + x2 + 3x3 = 8

<

7x1 + 2x2 = 12

<

2x1 + 8x2 3x3 = 1

>

4x1 + 3x2

2x3 = 0

>

2x1

+ x2

3x3 = 0

>

x1

2x2 + 3x3 = 0

d)

:

3x1 + 2x2

3x3 = 0

e)

:

:

8

6x3 = 0

8

8

3x1 + 2x2 + 5x3 = 0

f)

2x1 + 4x2

>

>

9x1 + 5x2 4x3 = 0

>

35.

<

3x1 + 7x2 + 4x3 = 0

<

<

3x1 8x2 + 9x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A = 0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A