idz_elementy_algebry_i_geometrii

ИДЗ "Первый семестр". Часть I.

Вариант 31

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

8 3x1

2x2

+ 4x3

= 3

(

(

8

4x 5y + 2z = 9

x

3z = 7

3x1

2x2

= 10

>

2x 3y + z = 4

>

4x1 + x2

2x3

= 4

2x + 5z = 8

4x1 + 3x2

= 2

<

3x + y

4z = 6

<

2x

1

+ x

2

= 4

>

>

:

~

:

~a

~b

~a

= 3;

~b

= 4; (~a^~b) = 135

KA b

A -~a

2. Даны векторы

и

: j

j

j j

.

~

~

Построить 2~a + b;

~a b:

3. Даны точки M1(3; 4; 2) и M2(2; 2; 4): Найти длину и направляющие косинусы

M1M2

:

M1M2:

вектора !

Написать единичный вектор, сонаправленный с !

~

~

~a = f3; 5; 3g; b = f 2; 3; 2g;

~c = f1; 2; 5g d = f5; 11; 3g:

~

~

и направляющие косинусы равнодействующей силы, если jF1j = 16; jF2j = 10;

jF~3j = 4; (F~1^F~2) = 60 ; (F~1^F~2) = 150 :

45

~

~

действуют в плоскостях граней куба. Ввести

Силы F1

и F2

6.

F2F1

систему координат. Найти координаты сил в введенной

60

системе.

Определить

модуль и

направляющие

косинусы

~

p

~

p

равнодействующей силы, если jF1j = 4 2; jF2j = 6 3:

~b

;

~a

= 4; ~b

= 6; (~a^~b) = 60 :

~a~b; ~a +~b ; ~a

j

7. Найти

j

j j

j

если j j

j

~

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, заданного векторами j~aj

= 4; jbj = 6;

(~a^~b) = 60 :

9. Даны векторы

~a =

f

3; 5; 1 ;~b =

f

4;

1;

2

:

Найти

~a~b; ~a ;

~b

; (~a^~b);

~a; ~b:

g

g

j j

j j

~b

~a

~

~

заставляют материальную точку перемещаться из M(5; 4; 1)

10. Силы F1

и F2

в N(3; 4; 2): Найти работу совершаемую при этом их равнодействующей,

~

~

= f6; 4; 5g:

если F1 = f3; 0; 5g; F2

~

~

11. Определить взаимное расположение векторов a) ~a

и b; b) ~c и d; если

~

~

~a = f9; 15; 6g; b = f 6; 10; 4g;~c = f7; 3; 3g; d = f6; 2; 9g:

m~ = f3; 2; 5g и ~n = f4; 2; 5g:

~

1; 2g;

13. Найти модуль и направляющие косинусы момента силы F = f3;

приложенной к точке B(4; 6; 1); относительно точки O(4; 5; 2):

~

~ ~

~

~

14. Найти смешанное произведение векторов ~a = 3i

4j; b = 5i + 3k;

~

~

~c = 2j + k: Верно ли что эти векторы компланарны?

для прямой на плоскости, проходящей:

a) через точки P (3; 4) и Q(2; 5);

~

~

b) через точку M( 3; 2) параллельно вектору m~ = 3i

4j;

a) точку S(1; 3; 4)

~

2; 5g;

перпендикулярно вектору d = f3;

b) точки M(2; 3; 5); N(3; 5; 4); S(2; 4; 1):

a

x

y2

2

y

b

x2

x + y2 + 62y

2

24 = 0;

) 4

2 13

6

= 0;

)

+ 8

2

+ 4x y

c) 6x

36x + y

10y 2 = 0; d) x

+ 8y + 13 = 0:

25. Построить в полярной системе координат кривые

a) = 3 cos 4';

b) = 2 sin ';

c) = 4 sin ':

26. Разложить дроби в виде суммы элементарных дробей

a)

6x

)

3x 1

)

5 4x

)

x + 1

x

x

x

1)

x2 + 6x + 5

x3 + 5x2

(x2 + 6)(x

2)

(

+ 2)(

3)(

+

3

x

2

+ 5x 1

27. Представить дробь

4x

в виде суммы целой части и элементарных

дробей.

x2 3x + 2

p

28. Представить числа a = 3 + 3i;

b = 1 +

3i; c = 5i;

d = 4 в тригонометри-

ческой и показательной формах. Изобразить их на комплексной плоскости.

Найти геометрически сумму чисел a и b; разность чисел c и d:

2

+ 202= 0 b) z

2

+ 4z + 684= 0 c3) z

4

2

3

2

3z 26 = 0

a) z3

81 = 0 d) z

+ 6z

e) z

8z 15z 6 = 0 f) z + 5z 7z

5z + 6 = 0:

32. Даны матрицы

1 ; B =

0

1 ; C =

A = 0 5 0 1

0 3 1

:

B

3 2 5

C

B

3

2 4

C

1 4

3

!

1 4 2

2 1 0

2 2 4

@

A

@

A

Найти

a) 2A

B;

A + 2B b) AB; BA;

AC;

CA c) A 1;

B 1:

ИДЗ "Первый семестр". Часть I (продолжение) .

Вариант 31

33. Решить матричным методом системы линейных уравнений:

a)

( 3x1

1

4x22= 5

b)

( 3x11

4x22

= 24

3x

+ 2x = 7

3x

+ 2x = 6

c)

8 2x1

d)

8 2x1

3x2

+ 5x3

= 0

3x2 + 5x3 = 16

>

4x1

+ 7x2

+ x3 = 5

>

4x1

+ 7x2

+ x3 = 3

.

<

3x1 2x2 + x3 = 2

<

3x1 2x2 + x3 = 1

>

>

:

:

34 Решить методом Гаусса системы линейных уравнений:

c)

8 4x1

+ 3x2

4x3 = 5

a)

8 2x1

+ 3x2

+ 5x3

= 10

b)

8 3x1

6x2

+ 4x3

= 4

>

5x1

3x2

+ 4x3

= 7

>

4x1

5x2 2x3

= 5

>

3x1

5x2

+ x3

= 7

<

4x1 + x2 + 3x3 = 9

<

6x1

3x2 + 5x3 = 4

<

11x1 + x2 7x3 = 17

>

3x1 + 5x2 + x3 = 0

>

3x1

2x2 + x3 = 0

>

6x1 + 12x2

3x3 = 0

d)

:

x1

2x2 + 3x3 = 0

e)

:

3x3 = 0

:

8

2x1 + 4x2

x3 = 0

8

8

2x1 + 3x2

f)

>

>

>

35.

<

4x1 + 5x2 2x3 = 0

<

8x1 x2 x3 = 0

<

4x1 + 8x2 2x3 = 0

>

>

>

:

:

:

Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования,

заданного матрицей

A =

0

2

4

6

1

:

B

1

0

5

C

3

0

3

@

A