Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lineynaya_algebra_Yudina

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

16.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

в) L= x12+x22+2x32+4x1x2+6x1x3+4x2x3							ка
							ка
3.32. Найти все значения параметра, при которых положительно определены
квадратичные формы:						е
а) L= 2 x12+x22+2x32+2х1х2+2x2x3
б) L= 2x12+λ x22+2x32+2x1x2+6x1x3+4x2x3					т
б) L= 2x12+λ x22+2x32+2x1x2+6x1x3+4x2x3

Глава IV. Аналитическая геометрия на плоскос и
			и	о
§4.1 Основные понятия аналитической ге метрии
		л
Линия на плоскости и пространстве часто задается множеством точек,
	б

обладающих некоторым только им присущим свойством. Введение системы

координат позволяет определить положение точки на плоскости заданием двух
								и
чисел, а в пространстве трех чисел – ее координат.
Определение: Уравнением						линии	на	плоскости	OXY	называется
							б
уравнение, которому удовлетворяют коорд наты X Y каждой точки линии и
не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.
Уравнение линии				позволяет изучение				геометрических свойств линии
						ая
заменить исследованием его уравнения.
Общие правила задания линии:
а) линия на плоскости задается уравнением F(x,y)=0;
б) поверхность F(x,y,z)=0;
в)					н
в)	линия в пространстве з д ется как пересечение двух поверхностей:
				н
В аналитической геометрии решаются две общие задачи:
1)			о
1)	Установле ие при адлежности точки к линии.
	Для т го, чт бы установить принадлежность точки M0(x0,y0) к
	линии, д стат чно проверить удовлетворяют ли координаты точки
	M0	у авнению этой линии.
2)	к	т		точки пересечения двух линий.
2)	Нахождениер			точки пересечения двух линий.
Для того, чтобы найти точку пересечения двух линий F1(x,y)=0 и F2(x,y)=0,
достаточно решить систему этих уравнений:
Задача 1.еЛежат ли точки						и	на линии
Э						61		координаты точек		,
Решение. Подставим в уравнение вместо								координаты точек		,
получимл					и

Точка А лежит на данной линии, точка В не лежит на данной линии. В аналитической геометрии на плоскости существуют две основные задачи: первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

Задача 1.2. Найти уравнение множества точек равноудаленных от точек

b –начальная ордината.

Решение. Пусть точка

– произвольная точка. Тогда расстояние

ка

равны между

собой.

;

Возведем обе части в квадрат:

. Приведя

подобные члены, получим

Ответ: прямая

§ 4.2

Прямая линия на плоскостии

Простейшей линией

на плоскости

задать

вл ется прямая, которую можно

разными способами.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

ая

Рассмотрим

на плоскости

M(x,y)

произвольную

прямую l

не

параллельную oy.

Возьмем оч у М(x,y) на прямой, (x,y) –текущие координаты.

;

Обозначим

Получим

(2.1)

где k – уг овой коэффициент.

Уравнение прямой, проходящей через точку

Пусть дана точка

поэтому ее координаты удовлетворяют ее

уравнению

исключим «b» из этих уравнений.

(2.2) - это каноническое уравнение прямой. ка

Если не задан,

то уравнение (2.2) определяет

пучка прямых,

уравнение

проходящих через точку

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через точку

имеет вид:

то

ее

координаты

удовлетворяют

уравнению

;

у − у1

− х1б

(2.3) - уравнение прямой,

х2 − х1

у2 − у1

проходящей через две точки.

ая

Общее уравнение пр мойб на плоскости

Теорема: Уравнение прямой на плоскости равносильно уравнению первой

степени с двумя переменными. Спр ведливо и обратное утверждение. Любое

уравнение первой степени с двумя переменными является уравнением прямой

на плоскости.

Рассмотрим уравне ие первой степени:

(2.4)

найдем

- это общее

уравнение прямой на

Следовательно: Ахо+ Ву + С = 0 (2.4)

плоскости.

Частные виды прямой на плоскости

а) Ахк+ Ву + С = 0

(2.5) - прямая общего положения;

б)еВ = 0; А ¹ 0

Ах + С = 0; х = -

(2,6)

;

х = -

в)

Прямая параллельна оси oy

ка

г)

у = −

д)

е)

ж)

Уравнение прямой в отрезках

Напишем уравнение прямой, проходящей через две точки

ая

(0,b)

(а,0)

§ 4.3. Ос

в ые задачи на прямую на плоскости

Основными задачамиона прямую на плоскости являются:

1). Нахождение угла между двумя прямыми на плоскости и условия

параллельнос ири перпендикулярности прямых..

2). Нахождение точки пересечения прямых.

3). Нахождение расстояния от точки до прямой

1).Угол м жду двумя прямыми на плоскости.

Уг ом между двумя прямыми на плоскости будем называть наименьший угол, на который нужно повернуть прямую 1, в положительном направлении так,

чтобы она совпала с прямой

ка

;

tgα = tg(α2 −α1) =

tgα2 −tgα1

1+tgα2tgα1

а2

(3.1)

α2

α1

находим по

Замечание: если одна из прямых перпендикулярна OX, то угол θ

формуле:

Условие параллельности прямых:

(3.2)

Условие перпендикулярности прямых

ая

(3.3)

Нахождение точки пересечения прямых.

Для того чтобы найти точку пересечения прямых надо решить совместно

, то решение

систему уравнений. Если прямые не параллельны, т.е

- то прямые параллельны. Если

системы единственное. Если

- о прямые совпадают.

точки до прямой.

3. Расстояние отт

Пусть задана прямая l уравнением

и так же

не

до прямой l.

принадл жащая прямая Найти расстояние от точки

Решение.

ка

=(A,B)

Так как точка М(х,у) L, то из уравнения

;

Поэтому

Задача 3.1.

Cоставить уравнение прямой, проходящей через точку А (1, 1), если эта прямая

ая

отсекает от положительной полуоси Оy, отрезок, вдвое больший, чем на

положительной полуоси Ox.

Напишем уравнение в отрезк х

= 1, в = 2а , тогда

= 1,или 2х+у=2а.

2а

найдём а из условия того, что точка А(1,1) принадлежит прямой 2*1+1=2а,

отсюда а =1.5. Уравнение прямой будет 2х+у=3.

Задача 3.2.

Cоставить уравнения двух прямых, проходящих через точку М (3, 2), одна из

которых параллельна прям й

, а другая перпендикулярна к ней.

M(3,2)

l2 x

M l1

Решение. Пусть l1║l2

и M l .

l l

Уравнение пучка прямых проходящих через точку М (3,2) будет:

ка

3. Найти расстояние между параллельными прямыми.

l1 : 2x - 3y = 6 и l2 : 2x - 3y = 2

Решение.

Возьмем на одной прямой произвольную точку

Задача 3.4. Дан треугольник АВС, где

А(-1, 2) ; В(-2, -2); С(4, 3)

Найти: 1) сторону АС, 2) угол А,

4)высоту АЕ.

3) медиану АD,

ая

С(4, 3)

Решение.

1) Уравнение стороны

А(-1, 3)

будет

или

В(-2, -2)

2) Величину угла А между прямыми АВ и АС найдем по формуле.

tgÐA = K AC - K AB

;

K AC = 4 − 2 = 2 ; K AB = − 2 − 2 = 4

+ K AC

× K AB

4 +1 5

- 2 +1

Точка делит отрезок

пополам, найдем

координаты точки D.

.Точка

ка

D(1;0,5).Уравнение медианы AD будет

или

Найдем уравнение высоты AE.

, поэтому

Прямая AE проходит через

очку А(-1;2),

поэтому ее уравнение будет

или

преобразовав это

уравнение получим

- это есть уравнен е высоты АЕ

§4.4 Линии второго порядка на п оскости

Основные понятия

Рассмотрим

линии,

определяемые

уравнен ями

второй

степени отно-

сительно текущих координат

4.1.

Коэффициенты уравнения - действительные числа, но, по крайней мере,

ая

одно из чисел A, В или C отлично от нуля. Такие линии называются линиями,

(кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (4.1)

определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность.

Простейшей кривой

второго порядка является окружность.

Окружностью

радиуса R с це тром в точке M0

называется множество всех

точек M плоскости, удовлетворяющих условию M0M=R. Пусть точка М0 в

прямоугольной системе координат Оxу имеет координаты

x0 ,y0, а M(x;y)

произвольная точка окруж ости (см. рис. 4.2).

Тогда из условия M0M=R получаем уравнение

, то есть

4.2

Уравнению

(4.2)

удовлетворяют

координаты

любой очки

Мр(х;у)

данной

окружности и

не

удовлетворяют координаты никакой точки, не

лежащей на о ружности.

Уравнкние (4.2) называется каноническим

уравнени м окружности.

Рис.4.2.

Полагая хо = 0 и yо = 0, получим уравнение окружности с центром в начале координат х2 + у2 = R2.

Уравнение окружности (4.2) после раскрытия скобок примет вид

			ка
с общим		уравнения		для
уравнения		е
1) коэффициенты при х2 и у2 равны между собой;	т	е
2) отсутствует член, содержащий произведение ху текущих координат.
Каноническое уравнение эллипса	и
Каноническое уравнение эллипса
л
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, суммао		расстояний

от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых

фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, бо ьшая, чем расстояние

между фокусами.

F2(C, 0)

ая

Рис.4.3

Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними через 2с, а сумму

расстояний от произволь ой

нточки эллипса до фокусов — через 2а (см. рис.

4.3). По определению 2а > 2с, т. е. а > c.

Для вывода

уравнениян

эллипса выберем систему координат Оху так.

чтобы фокусы F1

и F2, лежали на оси Ох. а начало координат совпадало с

серединой от езка Fо1F2Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:

F1(-c;0) и F2(0;-c).

Пус ь М(х:у)рпроизвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению

эллипса, МF1 + МF2 = 2а, т. е.

(4.3)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (4.3)к более простому виду следующим образом

Так как а > с, то а2 -		с 2 > 0. Положим							ка
Так как а > с, то а2 -		с 2 > 0. Положим
		(4.4)
		(4.4)
Тогда последнее уравнение примет вид								или
	(4.5)				и	о	т	е
Уравнение	(4.5)	называется	каноническим				т
уравнением эллипса.				л
Эллипс – кривая второго порядка.				л
Исследование формы эллипса по его
уравнению	форму	эллипса,	пользуясь его
Установим	форму	эллипса,	пользуясь его
каноническим уравнением.			и
каноническим уравнением.

1). Уравнение (4.5) содержит x и у только в четных степенях, поэтому если

б
точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также прб	надлежат точки (x;-y),(-
x;y), (-х;-у). Отсюда следует, что эллипс с мметр чен относительно осей Ох и

Оу. а также относительно точки О(0; 0), которую называют центром эллипса. 2). Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим две точки А1 (а; 0) и А2(—а; 0), в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 4.4). Положив в уравнении (4.5) x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью Оу: В1(0; b) и В2(0; -b).

Точки A1, A2, B1 и B2 н зыв ются вершинами эллипса. Отрезки А1А2 и В1В2,

а также их длины 2а и 2b н зыв ются соответственно большой и малой осями
н	ая

эллипса.

Рис.4.4

Числа а и b

азываются соответственно большой и малой полуосями

эллипса.

3). Из уравнения

(4.5) следует, что каждое слагаемое в левой части не

превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства

или

Следовательно,

все точки эллипса

лежат

внутри прямоугольника, образованного прямыми

4). В уравнении (4.5) сумма неотрицательных слагаемых

равна

одного

слагаемого

другое

единице. Следовательно, при возрастании

буд т уменьшатьсяк

, т. е. если

возрастает, то

уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную (на рис. 4.4)

Э	70	. При =а
(ова ьная замкнутая кривая). Форма эллипса зависит от отношения
эллипс превращается в окружность,	уравнение эллипса (4.5) принимает вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.2015154.55 Кб29kursovaya_NALOGI.docx
#
16.11.20181.11 Mб11kursovaya_PAS.docx
#
15.05.2015383.49 Кб17kurs_proekt_statistika.doc
#
15.05.2015306.18 Кб59Lektsia_9.doc
#
15.05.2015534.02 Кб11lesson.doc
#
15.05.201516.87 Mб18lineynaya_algebra_Yudina.pdf
#
15.05.20151.32 Mб30matem2.doc
#
15.05.2015113.66 Кб19MEPP_kur_r_2012.doc
#
15.05.2015169.98 Кб71Metodichka.doc
#
15.05.20151.23 Mб102metodichka_po_razrabotke_tem_dipl_pr_2014g.doc
#
25.08.201935.14 Кб2Ministerstvo_obrazovania_i_nauki_Respubliki_Tat...docx