Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lineynaya_algebra_Yudina

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

16.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

	æ 1		2	-1 0 ö				æ 1		-1	5	- 3	4 ö
	ç	3	-1 2		2	÷		ç	1	2 - 7		0	7	÷
1.15.	ç					÷	1.16.	ç						÷
	ç	2	5	-1	0	÷		ç	2	-1	2	3		÷
	ç					÷		ç					-11÷
	ç	1	-1	0	2	÷		ç	1	0	1	-2	5	÷
	è					ø		è						ø

Вычислить определители второго порядка.

1.17.					1		− 2									1.18.		− 3			2							1.19.				х + 1			0		о
					1		− 2											− 3			2											х + 1			0
					0			3										2			0											х −1			2
		Решить уравнения и неравенства.
					2х 3х															х + 5 х −1													х 2х
					2х 3х															х + 5 х −1													х 2х
1.20.					х			2		= 0						1.21.				4 − х			х −1		= 0				1.22.				5 2хи<12
					2х +1															− 2			3х								б		л
1.23.										3			>		0	1.24								< 0
										3
					х + 5					2											х		4х

		Вычислить определители третьего порядка.
																										б		и
			1					0				2						1			2	- 1								2		5	- 6


					−1			3				4
1.25.																1.26.		0			1	3								- 1		2	0
1.25.																1.26.		0			1	3				1.27.				- 1		2	0
					5 0 − 6													- 1 4 2												3 - 4 1
		Вычислить определители четвертого порядка.
				0 1 1 1																		ая
				0 1 1 1															- 1 3 1 2															2 - 3 4
1.28.				1 0 1								1				1.29.			-н5 8 2 7										1.30.					4 - 2 3
1.28.				1			1			0		1				1.29.			4		- 5 3			- 2					1.30.					0		6 0
				1 1 1 0												о	н		- 7			8 4 5												3 - 1 4
																о
		Найти мат ицу обратную данной.
								æ0				0			1	ö
								ç				2			р	÷										æ1		- 2ö
1.31. А=								ç1				2			- 1÷						1.32. А=					ç			÷
1.31. А=								ç								÷					1.32. А=					ç	3	-	÷
								ç	0		- 3				1	÷										è	3	-	1ø
								è	0		- 3				1	ø
								è	к			т				ø
									к															æ1				2 - 1ö
						æ1 2 3 ö																		æ1				2 - 1ö
1.33.		А =				ç	7 8					9		÷							1.34.			ç		2		1			÷
1.33.		А =				ç	7 8					9		÷							1.34.			А = ç		2		1	- 1÷
Э	л					еç								÷										ç			- 7		3		÷
						è	2 4 5							ø										è1			- 7		3		ø

																								21

т	е	ка

	Найти ранги матриц .									1.38. ç	2	-1		- 6 2				÷			ка
1.37. ç1			4	- 2			- 3÷			1.38. ç	2	-1		- 6 2				÷			ка
	æ1 2 - 3ö									æ	1	-	2		3	ö
1.35. ç		3	4		0	÷				1.36. ç	- 2		1		6	÷
	è					ø				è	3	2			-1ø					т е
	æ0		1		2		3 ö			æ	1	5		- 2			3	ö		т е
	æ0		1		2		3 ö			ç								÷
	ç	2	5		1		0	÷		ç	-1	6			4		1	÷
	è	2	5		1		0	ø		ç	3	4		- 8			5	÷
	è							ø		è	3	4		- 8			5	ø
																	л		и	о
															б				и
													и
												б
										ая

								н	н
								н	н
1.44. Предприятие производит мебель трех видов и продает ее в четырех
																					мебели i
– го типа в j-м егионер о. Определить выручку предприятия в каждом регионе ,
				к													æ100 ö
																	ç	90	÷
если реализация мебели за месяц задана матрицей А = ç																		90	÷
			е		т												ç	110	÷
1.45.					т												è	110	ø
	л
Продав ц мож т закупить от одного до пяти билетов на спектакль по цене 100
руб. и продать его перед началом по 200 руб. каждый. Составить матрицу
Э										22

выручки продавца в зависимости от количества купленных им билетов (строка матрицы) и результатов продажи (столбец матрицы).

Глава 2. Системы линейных уравнений

§2.1 Системы m линейных уравнений с n переменными

равенство.

Системой m линейных уравнений с n переменными называется сист ма вида

(1), где аij

- коэффициенты системы, и i = 1, 2,..., m, j = 1,2,...,n ,

ка

b j - свободные

члены

ìа11х1 + а12 х2 + + .а1i xi + + a1n xn = b1

ïa

x + a

+ ... + a

21 1

ï...................................................................

(1) íïa

x + a

+ ... + a

= b

j1 1

ï.................................................................

ïam x1 + am2 x2 + ... + ami xi + ... + amn xn = bn

Или в краткой записи ∑ aijxj=bj

(i =1,2…m)

(j = 1,2.....n)

Решением системы (1) называется совокупность n ч сел (х1=к1, х2=к2 … хn=кn)

при подстановке которых

каждое уравнение системы обращается в верное

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если не имеет решений.

Совместная система н зыв ется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной если она имеет более одного

решения.						н	ая
	Например:					н	ая
					о		н2х+3у=5
	2х+3у=5				2х+3у=5			х=1
	2х+3у=5				2х+3у=5			х=1
	х-2у=-1
	х-2у=-1		(-	2)	-2х+4у=2		7у=7	у=1 система совместна
				т
	2х+3у=5			(-2)	2х+3у=5		х=t, где	t R
			к		р0х+0у=0
	4х+6у=10				р0х+0у=0		y=(5-2t)/3 – система совместна и неопределенна
	е			2х+3у=5 система несовместна
	2х+3у=5			2х+3у=5 система несовместна
Э	4х+6у=2			2х+3у=1			23
Э							23
Равноси ьные системы, если они имеют одно и то же множество решений.
Системул		(1) удобно записать в матричной форме А×Х=В где

А – основная матрица

ка

А' – расширенная матрица

æa

...a

æ x

æb

ç 11

13 1n

ç 1

ça21

a22

a23...a2n

ç x2

çb2

А = ç

÷ ;

X = ç

; B = ç

ç................................

ç...

èam1

am2 am3 amn ø

è xn

èbn

а11 а12

а13 …а1n

A, = а21 а22

а23 …a2n

……………….

…

am1 am2

… am n

В неопределенной системе каждое решение называется частным, а

совокупность всех решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она и и несовместна. Если

она совместна, то найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентами (равносильными) если они имеют

одно и то же решение, т.е. если каждое решен е одной системы является
решением другой и наоборот.	б

Эквивалентные системы получаются элементарными преобразованиями при

условии, что элементарные преобразования производятся над строками
матрицы.	ая

§2.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений (С.Л.А.У) с кв др тными матрицами

Рассмотрим три метода реше ия С.Л.А.У. с квадратными матрицами: 1)
Матричный метод; 2) Метод Крамера; 3) Метод Гаусса
								р		н	н
1.Матричный мет д										н
		а		х		т		+а	x =b
(1)			11		11	12	2		13о3	1
(1)		a21x1+a22x2+a23x3=b2
					к
		a31x1+a23x2+a33x3=b3
А×Х=В		е
А×Х=В			если det(A)≠0
то матрица А имеет обратную А-1
	л
Умножим сл ва на А-1
А-1×А×Х=А-1×В Þ Е×Х=А-1×В
Э	Х=А-1× В										24
	Х=А-1× В

Схема решения:

ка

1)Вычислить главный определитель системы ∆(А), если он не равен нулю

2)Составить обратную матрицу А-1

3)Проверить А-1

А = Е

Х = А−1 × В

4)Умножить матрицу А-1 на В,

5)Сделать проверку, подставив значения неизвестных в систему.

Пример 2.1

Решить систему матричным способом.

+ 2х

+ х

= 8

í- 2х1 + 3х2 - 3х3 = -5

î3х1 - 4х2 + 5х3 = 10

Решение. Запишем систему в виде А× Х = В,

Х = А−1

× В .

1 2 1 ö

æ8

Введем обозначения.

- 2

- 3

- 5

А = ç

÷; Х

= ç

х2

÷;

В = ç

3 - 4 5

ç10

1). Вычислим главный определитель системы

7 -1

D =

- 2 3 - 3

7 -1

= 14 -10 = 4 ¹ 0

ая

- 4

-10

2). Находим матрицу А−1, обр тную м трице А для этого составляем матрицу

из алгебраических дополнений Ai j
	ç				÷	н	н
Транспонируем				Ai j	о
	æ	3	-14	- 9ö
АijT	ç				÷
АijT	= ç	1	2	1	÷

è-1

7 ø

æ 3

-14

- 9ö

обратная мат ица А−1 =

А T

-1

3). Проверяем условие A× A−1

= E

к1 2 1 ö æ 3 -14 - 9

æ4 0 0

ö æ1 0 0

A× A−1

÷ ç

= E

- 2 3 - 3÷ ç

1 2

0 4 0

= ç

0 1 0

÷ ç

3 - 4 5

0 0 4

ø è- 4 10 7

ø è

0 0 1ø

обратная матрица найдена верно.

4). Умножаем матрицу А−1на В .

3 -14 -9ö æ

8 ö

24+ 70-90 ö

æ 4

æ1

Х = А-1× В =

÷ ç

1 2

÷ ç

-5÷

8-10+10

ç 8

= ç

-1 10 7

÷ ç

ç ÷

ø è

-8-50+ 70ø

è12ø

5). Проверку сделать самостоятельно:

Ответ: х1 = 1; х2 = 2; х3 = 3

Метод Крамера.

Из системы (1) найдем х1, х2, х3.

х1

А11 А21 А31

b1A11+b2A21+b3A31

х2

= 1/∆

А12 А22 А32

= 1/∆ b1A12+b2A22+b3A32

х3

А13 А23 А33

b1A13+b2A23+b3A23

Обозначим:

a12 a13

∆x1 = b1A11+b2A21+b3A31=

a22

a23

b3 a23 a33

a31

a23аяb3

а11

а13

∆x2 =

b1A12+b2A22+b3A32=

а21

a23

а31 b3 a33

a11

a12

∆x 3= b1A11+b2A21+b3A31=

a21 a22 b2

x1=∆x1/∆

x2=∆x2/∆

- формулы Крамера

x3=∆x3/∆

Пример 2.2. Решить систему по формулам Крамера

х + 2х

+ х

í- 2х1 + 3х2 -

3х3

= -5

3х - 4х

+5х

= 10

Главный опр делитель системы

D =

- 2

- 3

= 4 ¹ 0 следовательно, система имеет

- 4

решение.

Вычислим определители Dх1; Dх2; Dх3 полученных из

т	е	ка

единственное главного путем

замены соответственно второго, третьего столбцов столбцом свободных членов.

					8		2			1					8				2		1				19				9											е	ка
					8		2			1					8				2		1
х1 =			− 5 3 − 3									=			19				9 0				=								= 4 .
			10				− 4			5					− 30			−14			0				− 30			−14											т
					1				8	1						1			8		1				11	−1												о


х =				− 2 − 5 − 3										=		0			11 −1				=							= 22 −14 = 8
2					3		10			5						0	−14				2				14		2										и
																									14		2

		1					2			8			1				2			8					7		11									л



х3 =		− 2					3		− 5		=		0				7			11		=								= −98 +110 =					12
																								−10		−14

				3 − 4					10					0 −			10		−14																б
				3 − 4					10					0 −			10		−14
	Dх1						4										х2			8									х3		12
	Dх1						4										х2			8									х3		12
х1 =	D					=		4	= 1; х2 =										=	4	= 2; х3					=					=	4	= 3
Ответ:					х1 = 1;					х2 = 2;								х3 = 3																и

3.Метод Гаусса.
Этот метод наиболее универсален. Он состоитб																																		в последовательном исключении
неизвестных из системы.
Прямой ход.										Будем считать 11 ≠ 0. Преобразуем систему исключив х1 из

уравнений 2 и 3, затем последоваятельно исключаем х2. Продолжаем процесс, пока это возможно. Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появится уравнение вида 0=0, то его отбрасываем – система неопределенна,

если появится 0 ≠ bi, то система

есовместна.

Обратный

ход

заключаетсян

в решении ступенчатой системы. Если

ступенчатая

система

кажется треугольной, то система имеет единственное

решение. На практике удобнон

работать не с системой, а с матрицей.

Пример 2.3.

х + х + х = 6

х = 1

1 2 3

í2х1 - 3х2 +

х3 = -1

Û í- 5х2 - х3 = -13 Û í8х2 + х3 = 19 Û íх2 = 2

ï3х - 5х + 2хт= -1

ï- 8х -х

= -19

ï3х = 6

х = 3

т единственное решение (1,2,3)

Сист ма им

Ответ: (1,2,3)

Другая матричная форма записи решения системы методом Гаусса.

ка

ç1

1 1

6÷

(- 2)(- 3)

ç1

1 1

6 ÷

ç1

1 1

3 1

- 5 -1

-13

- 5 -1

-13

-1÷

÷ (-1)

~ç

÷.

5 2

-1÷

- 8 -1

-19

- 3 0

- 6

Вернемся обратно к системе

ìх + у

+ z

= 6 ìx = 1

í5x2 + x3 = 13 Û íx3 = 3

ï- 3x = -6

ïx = 2

î 2

Ответ

Пример

Ответ

Пример

ая

система

Ответ

Алгоритм

Первое и второе у авнение оставляем, а из остальных исключаем х2 и.т.д.

Если возникло у авнение вида а≠0, то система несовместна.

Если возникло уравнение вида 0=0, то оно отбрасывается, система

неопределенна.

5. Если вознитло уравнение вида ах=в, где а≠0 то система имеет

§2.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений с
прямоугольными матрицами.			ка
прямоугольными матрицами.
Теорема Кронекера-Капелли		е
Пусть дана С.Л.А.У.	т
а11х11+а12х2+…+а1nxn=b1	т
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

би б л и

он н ая

1.Найти r(А) и r(Ар). если r(А)=r(А)= r, то система совместна.

2.Найти какойт-либо базисный минор порядка r (т.е. минор порядок которого определяет ранг мат ицы). Взять r уравнений, из коэффициентов которого составлен базисныйк минор, а остальные уравнения отбросить.

Неизвестные оэффициенты, которые входят в базисный минор называют главнымие и оставляют слева, а остальные n-r неизвестные называют свободными и переносят в правую часть уравнения.

3.Находял главные неизвестные через свободные получают общее решение системы.

4.Э Придавая свободным неизвестным произвольные значения получают соответственные значения главных неизвестных. Таким образом можно получить частные решения исходной системы уравнения.

5.Если свободные неизвестные равны нулю, то решение называют базисным.о………………………...

Пример 3.1. Решить систему методом Гаусса.																								ка
		2 1 -1 -1 1 1												2 1 -1 -1 1 1										ка
		2х1+х2-х3-х4+х5=1
			х1-х2+х3+х4-2х5=0
		3х1+3х2-3х3-3х4+4х5=2																					е
		4х1+5х2-5х3-5х4+7х5=3																				т
(2) 1 -1					1	1	-2		0		~ (3)			1 -1	1		1 -2	0 ~			о
(2) 1 -1					1	1	-2		0		~ (3)			1 -1	1		1 -2	0 ~
		3 3 -3 -3 4							2					5 1 -1 -1 0				2		и
		3 3 -3 -3 4							2					5 1 -1 -1 0				2
		4 5 -5 -5 7							3					6 3 -3 -3 3				3
		4 5 -5 -5 7							3					6 3 -3 -3 3				3
		(-2)(-3)			3	0 0	0	-1			1			3 0		0	0 -1	1	л
		(-2)(-3)			3	0 0	0	-1			1			3 0		0	0 -1	1	л
~					1 -1 1 1 -2					0 ~				1 -1 1 1 -2				0
					6 0 0 0 -2						2			0 0 0 0 0				0
																		б
					9 0 0 0 -3					3				0 0 0 0 0				0
																	и
r(A)=2, это значит, что главных неизвестных два, а сво одных n-r=5-2=3. За
свободные неизвестные возьмем х3, х4, х5.																Пусть		x3=c1		x4=c2 x5=c3 тогда
получим систему																б
получим систему
		3x1-x5=1									3x1=1+c3						x1=(1+c3)/3
		x1-x2+x3+x4-2x5=0												ая			x2=c1+ c2-5/3∙с3+1/3
		x1-x2+x3+x4-2x5=0										x2=-x1+x3+x4-x5					x2=c1+ c2-5/3∙с3+1/3
Ответ: x1=(1+c3)/3; x2=c1+ c2-5/3∙с3+1/3; х3=с1; х4=с2; х5=с3
Пример 3.2.													н
Пример 3.2.
Найти все базисные реше ия системы.
		2x1-x2+x3-x4=5						о			н
		x1+2x2-2x3+3x4= -6
		3x1+x2-x3+2x4= -1
							р
Решения называются базисными, если все n-r свободные неизвестные равны
нулю						т
		2x1-x2+x3-x4=5
					к
		x1+2x2-2x3+3x4= -6
		3x1+x2-x3+2x4= -1
Второе уравн ние системы переставим на первое место и умножая на (-2)
прибавим к п рвому, умножая на (-3)прибавим к третьему
Э				е										30
Э														30
					2 -1 1 -1							5		1 2 -2			3	-6
					2 -1 1 -1							5		1 2 -2			3	-6
(-	2) (-			3) 1 2 -2 3								-6 ~ 0 -5 5 -7						17 ~			1 2 -2 3				-6
			л		3 1 -1 2							-1		0 -5 5 -7				17			0 -5 5 -7				17
			л		3 1 -1 2							-1		0 -5 5 -7				17			0 -5 5 -7				17

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.2015154.55 Кб29kursovaya_NALOGI.docx
#
16.11.20181.11 Mб11kursovaya_PAS.docx
#
15.05.2015383.49 Кб17kurs_proekt_statistika.doc
#
15.05.2015306.18 Кб59Lektsia_9.doc
#
15.05.2015534.02 Кб11lesson.doc
#
15.05.201516.87 Mб18lineynaya_algebra_Yudina.pdf
#
15.05.20151.32 Mб30matem2.doc
#
15.05.2015113.66 Кб19MEPP_kur_r_2012.doc
#
15.05.2015169.98 Кб71Metodichka.doc
#
15.05.20151.23 Mб102metodichka_po_razrabotke_tem_dipl_pr_2014g.doc
#
25.08.201935.14 Кб2Ministerstvo_obrazovania_i_nauki_Respubliki_Tat...docx