Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lineynaya_algebra_Yudina

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

16.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

§1.3. Элементарные преобразования матриц

3)прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответственныхт еэл мкантов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число не равноео 0

4)отбрасывание нулевой строки или столбца

ли изб

крайнего элемента предыдущей строки																	б	и
			1 0		0	0											б	и
	А=		0 1		0 0
	А=		0 0 1 0									каноническая
			0 0		0	0								ая
			0 0		0	0
	æ1		2	3		4	ö					н
В= çç0							÷÷					н
В= çç0			-1	4		2	÷÷	ступенчат я
	ç	0	0	2	- 3		÷
	è	0	0	2	- 3		ø				н
											н
Задача №3.1. Привести матрицу А к каноническому виду
		2 3 1 2						р		о				2 7 3 0						2 7 3 0 (-2)


А= 0 -2 -1 1 (-2) (-1)													~	0 -2 -1 1					~	0 0 0 1	~
		4	0			т								4 2		6 0				4 2 6 0
		4	0	5 1										4 2		6 0				4 2 6 0
	2		е	к					2 7 3 0							2 0		3	0	1 0 0 0	1 0 0 0
			е	к
			7 3 0
		л													~ 0 0 0 1 ~ 0 0 0 1 ~ 0 1 0 0
~ 0 0 0 1 ~ 0 0 0 1															~ 0 0 0 1 ~ 0 0 0 1 ~ 0 1 0 0
Э	0 -12 0 0								0 1 0 0					(-7)		0 1 0 0				0 1 0 0	0 0 1 0
Э														11

Задача №3.2.

0 - 6 -12 - 42ø è0 0 0 0

ка

0 - 3 - 30

Привести к ступенчатому виду матрицу.

2 3 - 4 ö

æ1 2 3 - 4

ö æ1 2 3 - 4

0 1 2 7

0 1 2

- 7

ç- 2 - 3 - 4 15

÷ ç

А = ç

~ ç

~ç

÷ Ступенчатая

0 - 2 1 3

÷ ç

0 0 5

-11÷

матрица

Задача №3.3.

спользует сырье

Предприятие выпускает продукцию трех видов Р1, Р2, Р3

двух типов S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

1 4

А= 5

,где каждый элемент аij ((i=1,2,3…); (j=1,2,3…)) показывает сколько

единиц сырья j типа расходуется на производство единицы продукции i вида.

План

выпуска продукции задан матрицей – строкой С=(100

80 130).

Стоимость единицы каждого типа сырья (денеж.ед)

- матрицей

столбцом

æ30ö

Определить

затраты

сырья, необходимые

для

планового выпуска

В = ç

продукции и общую стоимость сырья.

Решение:

и S2

Затраты сырья первого и второго типааяS1

S1 =2×100+5×80+1×130=730

S2=3×100+2×80+4×130=980

Матрица-строка затрат сырья S может быть записана как

2 3

5 2

=(730 980 )

S=С×А=(100 80 130) ×

Тогда общая стоимость сырья

æ30

= 730×30+980×50=70900 (ден.ед.)

Q=(730 980) × ç

è50ø

Q= S×В=(СА)×В=70900

§1.4. Определители квадратных матриц

ка

Квадратной матрице А размерами n×n можно поставить в соответствие число

det A, т.е. определитель n-ого порядка.

1) det A=∆1=|А|=аn-определитель первого порядка.

а11

а12

2)∆2=|А|=

а21

а22

=а11*а22-а12*а21 – определитель второго порядка.

-3

= -6-20=-26

а11

а12

а13

3) Определитель третьего порядка ∆3=|А|= а21

а22

а23

а31

а32

а33

- вычисляется по правилу Сарруса :

. . .

ая

-2

. . .

= а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31а22а13-а21а12а33б-а32а23а11

Пример:

-1

= 1×1×0+0×1×1+(-2)×(-1)×2-1×1×(-2)-1×2×1-0×(-1)×0=4+2-2=4

Рассмотрим

свойства определителей на примере определителя третьего порядка

«Равноправность строк и столбцовн

1)При замене стр к ст лбцами (транспонированием) величина определителя не
изменится \|А'\|=\|А\|				р	а13о	н

		т

	а11		а12				а11 а21	а31

\|А'\|=\|А\|;↔	к		а22		а23		а12 а22	а32
	а21					=
	а31		а32		а33		а13 а23	а33

2)При п р становке двух столбцов (строк) определитель изменит лишь знак:

еа11

а12

а13

а12

а11

а31

а21

а22

а23

а22

а21

а32

-доказывается проверкой

а31

а32

а23

а32

а31

а33

3)Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными рядами равен нулю.

а11 а12 а13

ка

∆(А)=

а21 а22

а23

а31 а32

а33

∆(А)= - ∆(А)

2∆(А)=0 ∆(А)=0

и j-

Mij)

ая

знаки

- + -

+ - +

5) Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме

произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие им

алгебраические дополнения.

a22 ∆ =еа21ка22

a21

а23

а11А11+а12А12+а13А13=a11

a32

a33

a12 a31

a32

а21 а22

а23

a31

a33

+a13

=a11(a22a33-a32a23)-a12(a21a33-a31a23)+a13(a21a32-a31a22)= a11a22a33-a11 a32a23-a12a21a33-
-a12a31лa23+a13a21a32-a13a31a22
Э	14

∆=∑ аisAis - разложение по элементам строки

ка

Пример 4.2: разложить по элементам ряда

3 2

2 1

= 1

- 0

+(-1)

= -3-4-0-4+3=-8

-1 2 -1

2 -1

-1 -1

3 2

6) Сумма произведений элементов одного ряда на алгебраические дополненияе

соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

а11 а12

а13

а21 а22

а23

= а11А21+а12А22+а13А23

а21 а22

а23

7) Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак определителя

ка11 а12

а13

ка21 а22

а23

ка11А11+ка21А21+ка31А31=к(а11А21+а21А21+а31А31)

ка31 а32

а33

8) Определитель равен нулю, если все элементы некоторого ряда равны нулю.

	0	0	0
∆ =	а21 а22		а23	= 0 А11+0А12+0А13 =0
	а31 а32		а33

н
Если квадратная матрица содержитаядве одинаковые строки (столбца), то ∆=0
9) Если каждый элеме т екоторогон	ряда представляет сумму двух слагаемых,

то определитель м жет быть представлен в виде суммы двух определителей.

а'11+ а'11 а12

а13

а'11 а12

а13

а'11 а12

а13

∆=

а22

ао23

а'21 а22

а23

а'21 а22

а23

а'21+ а'21

а'31+ а'31 а32

а33

а'31 а32

а33

а'31 а32

а33

∆= (а'11+ а'11)А11+( а'21+ а'21)А21+(а'31+ а'31)А31= (а'11А11+а'21А21+ а'31А31)+

+(а'11А11+а'21А21+ а'31А31)

не

изменится,

к элементам ряда прибавить

10) Определитель

если

соответствующие элементы параллельного ряда, умножение на некоторый коэффициент.

а11 а12

а13

а11+ка12

а12

а13

а11 а12

а13

а11 а12

а13

ка

а21 а22

а23

а21+ка22

а22

а23

а21 а22

а23

а21 а22

а23

=∆

а31 а32

а33

а31+ка32

а32

а33

а31 а32

а33

а31 а32

а33

Свойство 10 применяют для вычисления определителя;

Пример 4.3.

(-3)

(2)

1 -2 3

1 0 0

-3 1

-2 1

-2 -3

о= 6-8= -2

- 2 1 - 5

-2 -3 1

= 1

+ 0

3 2 7

3 8 -2

8 -2

3 -1

3 8

Определитель третьего порядка можно вычислить тремя способами:

1) по правилу Сарруса

2) разложением по элементам ряда (теорема Лапласа)

3) линейным комбинированием рядов

Вычисление любого определителя порядка (n) производится вторым или

третим способом

ая2 3

-1 1 2 3

1 2 3

Пример 4.4.

-3 0 0 0

2 2 0 0

2 0

3 -1 0

= -3

3 -1

= -6

-1 0

= -6(-3-0)=18

∆=∑ аijАij – теорема Лапласа

Пример: 4.5.

5 3

0 7

0 -1 2 3

-1

2 3

0 0 3 1

= 5

= 5∙ (-1)

3 1

= -5∙3= -15

0 3 1

0 1

Значение т ор мы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление

опр д лит ля n-ого порядка к определителю (n-1) порядка, тем самым

понижается порядок определителя.

§1.5. Обратная матрица

			æ	1	ö
Для каждого числа а существует обратное			ç2;		÷; (а × а−1)а × а−1		= 1	т кое,
Для каждого числа а существует обратное			ç2;	2	÷; (а × а−1)а × а−1		= 1	т кое,
			è	2	ø	е		ка
что а×а-1=1. (2, ½), 2 ×	1	=1 ,				е
что а×а-1=1. (2, ½), 2 ×		=1 ,
2
Для квадратной матрицы тоже есть понятие обратной матрицы.

Обратная матрица имеет тот же порядок, что и А. Но не каждая матрицат

имеет

обратную, если ∆(А)≠0,то А имеет обратную, если ∆(А)=0, тооне имеет. Если ∆(А)=0 то матрица называется вырожденной (особенной), если∆(А)≠0 то невырожденной (неособенной).

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если произведение А×А-1= А-1×А=Е дает единичную матрицу.

Теорема: (Необходимое условие существования о ратной матрицы): Всякая
невырожденная матрица имеет обратную.							л
		А×А-1=Е
Доказательство: проведем для случая матр цы 3-гобпорядка.
æа11		а12	а13	ö		и
ç		ая		÷	det(A) ¹ 0 .
Пусть дана матрица А = çа21		ая		÷ ,
Пусть дана матрица А = çа21		а22	а23	÷ ,
ç	а	а	а	÷	б
è	31	32	33	ø

Составим союзную матрицу

= ç

А33

Найдем

æа11

а12

а13

А21

А31

А11

а21

а22

а23

А12

А22

А32

А´ А

= ç

× ç

+ а

....а

+ а

о13

а21

А21 + а22 А22 + а23 А23...а21А31 + а22 А32 + а23 А33 ÷

+ а

....а

+ а

32р32

31 31

1 0

detA

= detA

= detA×E

= 0 detA

detA

A×A*=detA×E

ка

A×(A*/detA)=E

А×А-1=Е

А-1

А-1= (1/ detA)×А*,

где А*- союзная матрица

Схема нахождения обратной матрицы

Находим определитель |А| ,если |А|≠0, то А-1 существует

Находим матрицу Аij

из алгебраических дополнен й

Транспонируем (Аij)т=А*, А*- союзная матрица

-1

= (1/ detA)×А

4) Вычисляем обратную матрицу по формуле A

5) Проверка А-1×А=А×А-1=Е

Пример 5.1.

1 2 3

1 4 2

-3 6 -3

А= 4 5 6

Ат= 2 5 8 .

А*= Аij= -24 3 6

2 8 9

3 6 9

22 -4 -3

∆=15

ая

A-1= 1/∆× Аijт=1/15

-3

-1/5

2/5

-1/5

-24

= -8/5

1/5

2/5

-4

-3

22/15

-4/5

-1/5

-3 6 -3

1 2 н3

= 1/15

15 0 0

1 0 0

А×А-1=1/15 -24 3 6

5 6

0 15

0 =

0 1 0 = Е

2н8 9

0 0 15

0 0 1

22 -4 -3

§1.6. Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное

значение имеет ранг матрицы.

Рангом тматрицы называется наивысший порядок отличных от нуля

миноров этой матрицы. Обозначается r, r(A), rang A.

Очевидно, что

1)r(A)<=min(m,n)-т.е. наименьшее из чисел m и n

2) r(A)= n,еесли матрица Аn*n невырожденная, т.е. detA≠0.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У
матрицыл	может быть несколько базисных миноров.

Вычисление всех базисных миноров очень трудоемкая работа,																										поэтому ранг
																												ка
матрицы вычисляют приводя ее к каноническому виду элементарными
преобразованиями.																											е
Пример 6.1. Найдите ранг матрицы																									о		е
Пример 6.1. Найдите ранг матрицы

	(-1) 3 3 5 -3 -2										1 1 -2 2 -1 (-2)									(-5)		1 1 -2 2 -1
	(-1) 3 3 5 -3 -2										1 1 -2 2 -1 (-2)									(-5)		1 1 -2 2 -1
		2 4 3 -1 -3 ~ 2 3 5 -3 -2																				~ 0 1 9 -7 0 ~
		2 4 3 -1 -3 ~ 2 3 5 -3 -2																				~ 0 1 9 -7 0 ~
																								и
		5 6 -1 3 -5									5 6 -1 3 -5												0 1 9 -7 0т
		5 6 -1 3 -5									5 6 -1 3 -5												0 1 9 -7 0т
				1 1		-2		2	-1													б	л
				1 1		-2		2	-1
			~ 0 1			9 -7 0						r(A)=2								и
			~ 0 1			9 -7 0						r(A)=2
Пример 6.2					Найдите ранг матрицы
Пример 6.2					Найдите ранг матрицы
																(-2)			б
		1 2 3 0							1 2 3								1 2 0		б		1 0 0 (-3)						1 0 0
		1 2 3 0							1 2 3								1 2 0				1 0 0 (-3)						1 0 0
		3 2 1 0 ~ 3 2 1													~ 3 2 0					~ 3 -1 0						~ 0 1 0 ~
		0 0 5 0							0 0 1 (-1)								0 0 1				0 0 1						0 0 1
		0 0 5 0							0 0 1 (-1)								0 0 1				0 0 1						0 0 1
		4 4 4 0							1 1 1							ая					1 -1 0						0 -1 0
		4 4 4 0							1 1 1								1 1 0				1 -1 0						0 -1 0
		1	0	0										н
		1	0	0
~		0 1 0					r(A)=3					н
		0	0 1								о	н
		0	0 1

									§ 1.7 Задачи для самостоятельной работы
Найти линейную комбинацию заданных матриц.
							т		Ар=	æ	- 3	2ö		В =		æ	7	2 ö
1.1. С = −2А + 3В ,									Ар=	ç			÷	В =		ç		÷
1.1. С = −2А + 3В ,										ç	1	4	÷ ;			ç	4	÷
				е	к					è	1	4	ø			è-	4	3ø
				е					æ		2	2 -1 ö					æ -1 3 0				ö
								А	ç						÷	В	ç	0	- 4 3		÷
1.2. С = 3А + В ;								А	= ç		3	4		1	÷ ;	В	= ç	0	- 4 3		÷
	Э								ç		5 - 2			3	÷		ç	6 8 9			÷
									è		5 - 2			3	ø		è	6 8 9			ø
								æ	3	1 - 2 ö								19
1.3.		А − λE			,	A =		ç- 1			4	- 3	÷
		А − λE						ç					÷
		л						ç	0		2	- 4	÷
								è	0		2	- 4	ø

Найти произведения матриц.

ка

1.4.

æ- 8

0ö

- 1ö

3 ø

è - 3

4 ø

æ 0 1

2ö

æ1 0 - 3ö

1.5.

ç- 4

0÷

ç0

-1÷

- 2

3 ø

è2 5

Найти произведения матриц АВ и ВА если они существуют и

установить АВ ¹

ВА:

æ1

2 ö

æ2

0 ö

;

1.6. А = ç

В = ç

è3

0ø

3ø

æ-1 4 3 ö

æ-1 4 ö

;

В =

1.7. А = ç

è 0 0

2ø

è 2 - 3ø

æ1

5 ö

æ1

- 3

1.8. А = ç0

3÷ ;

В = ç

ая

è2 -1ø

Найти значение матричного многочлена

f (x) = x2 - 3x + 2, A =

æ1

1.9.

- 3

÷ .

-1

2ö

1.10. f (x) = 3x2 - 4x + 5,

3н4

A = ç

-1

Транспонировать матрицы.

- 4ö

æ- 7

8ö

1.12.

1.11. А = ç

1 ø

è- 1 - 3

2 ø

Привестит

ступенчатому виду матрицы.

3 - 2ö

3 - 2 3 ö

æ 2

3 1

1 2

1.13.

3 1 ÷

1.14. ç

2 5 ø

-5 4ø

è 1

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.2015154.55 Кб29kursovaya_NALOGI.docx
#
16.11.20181.11 Mб11kursovaya_PAS.docx
#
15.05.2015383.49 Кб17kurs_proekt_statistika.doc
#
15.05.2015306.18 Кб59Lektsia_9.doc
#
15.05.2015534.02 Кб11lesson.doc
#
15.05.201516.87 Mб18lineynaya_algebra_Yudina.pdf
#
15.05.20151.32 Mб30matem2.doc
#
15.05.2015113.66 Кб19MEPP_kur_r_2012.doc
#
15.05.2015169.98 Кб71Metodichka.doc
#
15.05.20151.23 Mб102metodichka_po_razrabotke_tem_dipl_pr_2014g.doc
#
25.08.201935.14 Кб2Ministerstvo_obrazovania_i_nauki_Respubliki_Tat...docx