lineynaya_algebra_Yudina

а) если

>c, c>0,

то

<0. Точек пересечения поверхности (6.1) с

плоскостями

не существует;

б) если

=c, т.е. h=+с, то

=0. Линия пересечения (6.2) вырождается в

е

две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и z=-c касаются данной пов рхности.

в) если <c, то уравнения (6.2) можно переписать в виде:

и

т

ка

Как видно,

линия

пересечения

есть эллипс

(см.р с.6.1)о

с полуосями

а1=

и b1=

. При этом, чем меньше

, тем больше полуоси а1 и

б

b1. При h=0 они достигают своих наибольших значений: а1=а, b1=b. Уравнения

(6.2) примут вид

и

л

ая

б

н

н

Рис.6.1

Рис.6.2

Аналогичные

езультаты получим, если рассмотрим сечения поверхности

т

и y=h.

(6.1) с плоскостями x=hо

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить

поверхнос ь

(6.1)

ркак

замкнутую

овальную поверхность. Поверхность (6.1)

е

Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным: если какие-либо

две полуосикравны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения:

л

если a=b=c, то в сферу х2+у2+z2=а2.

Э

91

Однополостный гиперболоид

Пересекая поверхность (6.3) плоскостью z=h, получим линию пересечения,

уравнения которой имеют вид

е

ка

Как

видно, этой линией

является эллипс с полуосями а1=

и

b1=

о

т

. Полуоси а1 и b1 достигают своего наименьшего значения при h=0;

а1=a; b1=b. При возрастании

полуоси эллипса будут увеличиваться.

и

уравнениями

. Как видно, эта линия есть гипербола (см.рис.6.2).

Анализ этих сечений показывает, что поверхностьл , определяемая

уравнением

(6.3),

имеет

форму

бесконечной

расширяющейся трубки.

б

.

Поверхность (6.3) называется однополостным г перболоидомб

Замечание: можно доказать, что через лю ую точку гиперболоида (6.3)

проходят две прямые, лежащие на нём.

и

ая

Двуполостный гиперболоид

Пусть поверхность зад на ур внением

+

-

=-1

(6.4). Если

н

поверхность (6.4) пересечь плоскостями z=h, то линия пересечения

определяется уравнениями:

(6.5). Отсюда следует, что:

а) если <c, то плоскости z=h не пересекают поверхности;

р

то нплоскости

б) если

=c,

z=+c

касаются

данной

поверхности

соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).

т

в) если >c, тооу авнения (6.5) определяют эллипс, полуоси которого

к

возрастают с рос ом .

Пересе ая поверхность (6.4) координатными плоскостями Oyz (x=0) и Oxz

е

(y=0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют

вид:

л

и

-

.

Э

92

т

е

ка

Рис.6.4

У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод сечения

л

позволяет изобразить поверхность (см.рис.6.3), определяемуюоуравнением (6.5),

как поверхность,

состоящую из двух полостей,

имеющих форму выпуклых

неограниченных чаш.

б

и

Поверхность (6.5) называется двуполостным гипер о оидом.

и

Эллиптическ й параболоид

б

(6.6), где p>0,

Исследуем поверхность, заданную уравнением

ая

q>0. Рассечём поверхность (6.6) плоскостями z=h. В сечении получим линию,

уравнения которой есть

н

Если h<0, то плоскости z=h поверхности не пересекают; если h=0, то

плоскость z=0

касается поверхности в точке (0;0;0); если h>0, то в сечении

имеем эллипс,

н

. Его

полуоси

уравнение которого имеет вид

о

возрастают с ростом h. При пересечении поверхности (6.6) координатными

р

и z=

плоскостями Oxz

и Oyz получатся соответственно параболы

z=

.

т

Таким образом, пове хность, определяемая уравнением (6.6), имеет вид

выпуклой, бесконечно

расширяющейся чаши

(см.рис.6.4).

Поверхность

к

(6.6)называется эллиптическим параболоидом.

л

Гиперболический параболоид

(6.7).

Э

Иссл ду м поверхность, определяемую уравнением

93

Ана из

еинии пересечения позволяет определить вид поверхности: она имеет

Исследуем

уравнение

поверхности

ка

(6.8). Пересечём

поверхность (6.8)

плоскостями z=h. Линия пересечения

е

.

При h=0 она вырождается в точку (0;0;0). При h≠0 в сечении будем получать

эллипсы

о

и

.

При

Полуоси этих эллипсов будут возрастать при в зрастаниит

пересечении

поверхности

(6.8)

плоскостью

л

y=0

получим

линию

,

также

б

распадающуюся

на две

пересекающиеся

и

прямые

-

= 0 и

+

= 0.

б

Поверхность,

определяемая

уравнением

(6.8),

называется

конусом второго порядка,

ая

имеет вид, изображённый на рисунке (6.5).

Поверхности, составленные из пр мых

линий, называются линейчатыми. Такими

поверхностями

являются

цилиндрические,

конические

поверхности,

н

т кже однополостный

гиперболоид

и

гиперболический параболоид.

5.7

н

Задачи для самостоятельной работы

5.1. Составить уравнение пл скости, проходящей через точку А(-1; 2; 0) и:

а) перпендикулярн й вект ру а =(2; 3; -4);

б) параллельной плоскости x – 2y + 3z – 6 =0;

т

ОУ;

в) проходящей че ез осьо

г) проходящей перпендикулярно оси OZ.

5.2. Состави ь уравнениер

плоскости, проходящей через точки М1(1; 0; 2), М2(2;

е

4; 3) и М3(4; 1; -3).

5.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 2; -3) и

л

паралл льнокдвум данным векторам а =(3; 5; 8) и b =(3; 4; -2).

5.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 2; -3) и

пара

е ьно плоскости 2x – 2y + z – 5 =0.

Э

94

5.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(-2; 3; 4) и

5.6. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2;

0; -3) параллельно:

ка

а) вектору а =(2; -3; 4);

б) прямой

x +1

=

y −1

=

z + 2

;

е

3

2

-1

в) оси ОХ;

т

г) оси ОУ.

5.7. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей ч р з точку

А(1; -1; 3) параллельно:

о

а) вектору а =(2; -3; 4);

и

x −1

y + 2

z

б) прямой

=

=

;

2

3

0

ìx = 3t -1

в) прямой

íïy = -2t = 3 .

ï

îz = t + 2

5.8. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки

А(-2; 3; 5) и В(0; 4; 5).

л

5.9. Составить канонические и параметрическ е уравнения следующих прямых,

заданных пересечением плоскостей:

б

и

б

а) x – 2y +3z – 4 =0, 3x + 2y – 5z – 4 =0;

б) 2x + 3y – z – 4 =0, 3x – 5y + 2z +1 =0;

в) x + 2y – z – 6 =0, 2x – y + z +1 =0.

параллельно прямой íì3x - y + 2z - 7 = 0 .

îx + 3y - 7z +1 = 0

5.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -2; 1)

перпендикулярно плоскости 5x + 3yая– 7z +1=0.

5.12. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость x + 2y – z – 3 =0.

5.13. Найти точку пересече иянпрямой и плоскости:

а)

x −1

=

y +1

=

z

, 2x + 3y + z -1 =0;

1

- 2

- 6

z − 3

н

x + 2

y −1

б)

=

=

о

, x + 2y – 2z +6 =0.

- 2

3

2

5.14. Состави ь у авнение плоскости, проходящей через точку А(1; -1; 1)

к

перпенди улярно крпрямой

x + 5

=

y −1

=

z + 3

.

- 3

е

т

2

4

x + 2

y − 3

z − 5

5.15. Найти точ у пересечения прямой

=

=

и плоскости 2x – 3y +z

2

1

1

– 6 =0.

x − 5

y

z + 25

5.16. Вычислить расстояние от точки А(2; 3; -1) до прямой

=

=

.

2

x +1

y − 5

z −1

3

- 2

5.17. При каких значениях α и β прямая

=

=

параллельна

- 6

β

л

α

плоскости 2x – 3y + 5z +1 =0.

Э

95

5.18. Найти величины углов между осями координат и прямой

ка

x +1

=

y − 2

=

z − 3

.

-1

1

2

5.19. Найти величину острого угла между плоскостями:

а) 2x + 3y – 4z + 4 =0 и 5x – 2y + z – 3 =0

б) 4x – 10y + z – 1 =0 и 11x – 8y – 7z +10 =0

в) 2x – 2y + z =0 и z =0.

5.20. Найти величину острого угла между прямыми:

о

x − 3

y − 2

z +1

x −1

y + 2

z

ìx = 3t - 2

ìx

= 2t

-1

ï

ï

е

а)

=

=

и

=

=

;

б)íy = 0

и

íy

= 0 .

1

-1

2

1

1

2

ï

и

ï

т

îz = -t + 3

îz

= t - 3

и

б

л

б

ая

н

Приложение

Индивидуаль ые задания для самостоятельной работы

т

Главан1. Элементы линейной алгебры

Задания.

о

1.

Дана матрица А (таблица 1).Вычислить определитель матрицы А найти

к

матрицу А-1, робратную данной и установить, что А∙А-1=Е.

л

е

Таблица 1.

Вариант

Матрица А

Вариант

Матрица А

æ

2

2 3ö

æ

2

2

7

ö

Э

1

ç

1

-1 0

÷

16

ç

- 3

- 2 5

÷

ç

÷

ç

÷

ç

-1 2 1

÷

96

ç

4 3

÷

è

ø

è

-1ø

æ4 2 3

ö