Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lineynaya_algebra_Yudina

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

16.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Свойства компоненты (геометрической проекции) : 1.Проекция суммы равна сумм проекций.

ка

прx (a

+ b)

пр

+ прx b

Ax Bx

Сx Dx

прx (AB + BC + CD) = прx

AD = AxDx

2.Однородность. Числовой множитель выносится за знак проекц и.

λa

(λa)x =

x (λ

λax

пр

a) = λ

пр

x a

Доказательство следует из подобия (несколько случаев).

Эти два свойства называются линейностью.

Линейные операции над векторами приводят к соответствующим операциям

над проекциями.

Проекция вектора на ось (алгебраическая):

= Ах Вх

пр

АВ

ая

Отношение компоне ты к ортунесть алгебраическая проекция, по модулю она равна длине |AxBxсо| з аком (+) если вектор и ось соноправлены и знаком (-),

если противонаправлены. Для алгебраической проекции свойство линейности

сохраняется.

прx (a

+ b) = прx

+ прx b

прx (λa) = λпрx a

Выразим алгебраическуюр

проекцию через угол и модуль прx

= a cos ϕ .

прх

Тогда косинус угла между вектором а и осью ох будет cosϕ = а , где ϕ —

а и осью ох

угол, образованный между вектором

§3.4.Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора.

Направляющие косинусы

ка

Выберем произвольный вектор,

и начало его совместим с началом

еные оси.

координат. a=0M

Найдем проекции вектора

на

координа

= 0M1 = |

1|×i

пр

прy

= 0M2 = |0M2| j

прz a = 0M3 = |0M3| k

тогда вектор

1 + 0M2 + 0M3 =

= |0M1|i + |0M2|j + |0M3|k

обозначим |0M1| = ax

|0M2| = ay

|0M

3| = az

= ax

i + ay

j + az

Получим a

Эта формула

основной

векторном

является

исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей.
						б
Числа ax, ay, az, называются координатами вектора							а	,т.е. Координаты вектора
есть его проекции на соответственные координатные оси.
Символически вектор записывают a = (ax; ay; az)
					ая
Зная координаты вектора можно найти длину вектора \|a\|2 = a2 = ax2 + ay2 + az2
2	2		+ az	2
Отсюда \|a\| = ax	+ ay		+ az
Пусть углы вектора			с осями координат соответственно равны ά, β, γ. По
Пусть углы вектора		а	с осями координат соответственно равны ά, β, γ. По

свойству проекции вектора на ось имеем ax = a×cos ά, ay = a×cos β, az = a×cos γ

Отсюда

cos ά =

cos β =

cos γ =

числа cos α, cos β, cos γ, азываются направляющими косинусами вектора

= ax

+ ay

+ az

= a

×cos α + a ×cos β + a

cos γ

Сократив на a2≠0, п лучим

cos α + cos β + cos γ = 1

равен a0 =

Единичный вектор или о т вектора

= (cosα; cosβ; cosγ)

Вектор, идущий из начала координат в точку M (x, y, z) называется радиус-

вектором.

rm = xi + y y + zk = (x; y; z)

Рассмотриме

некоторые задачи на координаты точки.

Вычисление вектора по координатам начала и конца

M1(x1; y1;z1)

M2(x2;y2; z2)

2 –

1 = (x2; y2; z2) - (x1; y1; z1) =

= (x2-x1; y2-y1; z2-z1)

Чтобы найти координаты вектора по координатам точек, надо из координат

конца вычесть координаты начала.

ка

Расстояние между двумя точками

Вектор

= (x - x ;

- y ; z

- zт)

B(x2; y2; z2)

Расстоянием между двумя точками будет

A(x1; y1; z1)

длина вектора

АВ

(х2 − х1)2 + (у2 − у1)2 + (z2 − z1)2

Нахождение точки по вектору

Пусть дан вектор

= (ax; ay; az) и координаты начала A (x1; y1; z1), тогда

координаты конца B вычисляются из формулы a = rB

– rA

rB = rA + a =

(x1+ax; y1+ay; z1+az)

Деление отрезка в данном отношении

+ λ

r =

; т.е.

1+ λ

x =

xa + λxb

аяy =

+ λyb

za + λzb

1+ λ

+ λ

1+ λ

Замеча ие: если точка М делит отрезок пополам, то

+ rb

xa + xb

+ yb

za + zb

λ = 1

; x =

; y

; z

§3.5 Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число,

(a, b) = a×b = a×b×cosφ

равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и

обозначается (

)1 =

Свойства:

b ϕ

ка

1.Связь с проекцией

×b=a×b×cosφ=a×пра

b×cosφ=прa b

Скалярное произведение равно произведению модуля одного вектора на

проекцию другого вектора на направление первого.

2.Выразим проекцию через орт вектора.

– орт вектора b

a ×b

= a ×b0

Скалярное произведение вектора на орт другого вектора равно проекции

первого на направление второго.

3.Скалярное произведение ненулевых векторов обращается в нуль, если

векторы перпендикулярны.

a≠0; b≠0;

×b = a×b×cosφ φ=π/2

π/2 a

cos π /2 = 0; a×b = a×b×0 = 0.

4.Коммутативность.

a×b =

×a; a×b×cosφ = b×a×cosφ

5.Ассоциативность с числовым множителем.

λ×(ab)=(λ×a)×b=a(λb);

6. Дистрибутивный закон (распределительныйб

закон).

(a+b)×c=a×

c+b×c

7.Скалярный квадрат вектора р вен кв драту его модуля.

a2=a

(a,a)=a×a×cos0=a2.

a=a×a×cos

Применение скалярного произведения.

1.Найти угол между векторами.

ая

a×b=a×b×cosϕ => сosϕ

a ×b

2.Найти проекцию

дн го вектора на другой вектор.

a×b=a×прab=b×прba;

a0.

прab

3.Длина век ора.

= a

; a = a

+ ayр+ az .

4. Работа. A=F×S.

§3.6 Векторное произведение и его свойства

Векторным произведением вектора

на

называется

вектор c , который:

1) имеет длину, численно равную площади параллелограмма,

построенного на векторах a и b | c |=a×b×sinφ;

2)перпендикулярен к обоим векторам а и b ;

3)образует правую тройку, т.е направлен так, чтобы с конца его ближайшеекае

1.Антикомутативность

= -b

×a;

b×a = c

2.Ассоциативность с числовым множителем.

(λa)×b=λ×(a×b)

│(λ×a)×b│=λ×a×b×sinφ=λ(

×sinφ)=

λ│a×b│

3.Дистрибутивность

(a+b)×

c=a

×c+b×c

Следует сохранять порядок сомножителей.

4.Векторный квадрат равен нулевому вектору.

a×

│

×a│=a×a×sinφ=a×a×sin0=0

5.Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору.

ая

Условие коллинеарности векторов

×b=0;

a=λ×b

Вычисление площади треугольника

S ABC = ½S = ½ |AB

×AC|

§3.7 Смешанное произведение трех векторов

Векторное произведениек двух векторов — вектор. Его можно умножить на третий вектор векторно или скалярно. Если умножить веккторное произведение

Смешанноее

произведение (a×

)

∙c обозначается abc.

Свойства:

1.(a

×b)∙

│a×b│∙│c│∙cosϕ =a∙bsinα∙ccosϕ =S ∙(±h)=±V

Если угол ϕ острый, то (+), если — тупой (-).

двух в кторов а ×b на третий вектор скалярно, то получим смешанное произв д ние (векторно-скалярное). Если векторно — то двойное векторное произведение.

αc

ка

основная система (правая)

левая

Если тройка векторов образует правую систему, то у смешанн го тпр изведения

знак (+) и (-) в противном случае.

Геометрический смысл смешанного произведения— объем параллепипедао

построенного на векторах.

2.При круговой перестановке вектров смешанное произведение не меняется, а

при некруговой — меняется лишь знак.

= bc

= cab

(abc) = -ba

abc = -acb.

3.Смешанное произведение равно нулю, если три вектора компланарны.

§3.8 Действия над векторами в координатной форме

1.Сложение (вычитание) векторов.

a=(ax,ay,az); b=(bx,by,bz).

a±b=(ax,ay,az)±(bx,by,bz)=(ax±bx;ay±by;az±bz) по свойству проекций.

2.Умножение вектора на число.

λa=λ(ax,ay,az)=(λax,λay,λaz)

по второмуаясвойству проекций.

ие векторовн

и его свойства.

3.Скалярное произведе

раблицу скалярного умножения ортов.

Сначала сос авим

∙i=1∙1∙cos 00=1;т

∙j=1;

∙

k=1

∙j=1∙1∙cos 900=0;

i∙k=0; j∙k=0

Произв д ние одноименных ортов равно 1, разноименных равно о.

		0	0	1
k		0	0	1		ка

	a=(ax,ay,az);				b=(bx,by,bz)
	a=(ax,ay,az);				b=(bx,by,bz)

a∙b=(axi+ayj+azk)∙(bxi+byj+bzk)=axbxii+axbyij+axibzk+aybxji+aybyjj+azbykj+azbxki+azby kj+azbzkk=axbx+ayby+azbz

a∙b=axbx+ayby+azbz

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:(2,3,-1)(1,2,0)=2-6+0=-4.

Модуль вектора.

Пусть b =

∙

= ax2+ay2+az2;

a∙a = a2; a =

ax2 + ay2 + az2

Пример:a=(2,-1,0) a =

4+1+0 = 5

Орт-вектора.

(a , a , a )

ay a

y z

a = a∙a

a =

= i×cosα + j×cosβ + k×cosγ

a a

(cosα, cosβ, cosγ) – направляющие косинусы вектора. Координатами единичного

вектора являются направляющие косинусы.

Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

│

│=1∙1∙sin00=0

ая

i×i=0

i*i

×k=0

│i*j│=1∙1∙sin900=1

j×j=0

-j

i×j=k

-k

j×i=-k;

-i

j×k=i;

k×j=-i.

×b=(ax

i+ayk)×(bxi+byj+bzk)=axbxi×i+azbyi×j+axbzi×k+aybxj×i+aybyj×j+aybyj×k+azbxk

×i+azbzk×k=axbyk-axbzj+azbxj-aybyk+aybyi-aybxk+azbyi+azbxj=

(aybz-azby)i+(azbxaxbz)j+(axby-aybx)k=

ay az

ax bx

by bz

az bz

ay by

×b

=лax ay az

bx by bz

Пример

:a=(2,-1,1); b=(0,1,2)

ка

a×b =

-1 1

2 1

-1

-3i-4j+2k = (-3, -4, 2)

1 2

0 2

Площадь треугольника вычисляется:

S = ½ |a×b| = ½

ax ay a z

bx by

и(c

5. Смешанное произведение векторов.

= (ax,ay,az); b = (bx,by,bz);

= (cx,cy,cz)

ax ay az

(cx, cy, cz) =

ay az

–

ax az

j +

ax ay

+ c

xi + c

zk) =

×b)∙c

bx by bz

by bz

bx bz

bx by

ay az

cx -

cy +

ax ay

by bz

bx bz

bx by

ax ay az

bx by

abc

cx cy cz

Vтетр= 1/6 Vпар =

6. Некоторые приложения смеш нного произведения:

1.)Определение взаимной орие тацииаявекторв в пространстве abc>0, то правая

тройка,если а b c <0, то левая.

2.)Условие компланарн сти вектора а b c = 0

3.)Определение объемов параллепипеда и треугольной пирамиды.

Vпар-да=│abc│

Vтр. пирамиды=

§3.9 N-м рный вектор и векторное пространство. Размерность и базис

векторного пространства

n-мерный вектор и векторное пространство.

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных ранее, в которых были определены линейные операции сложения и умножения

вектора на число — это примеры векторных пространств (двумерного и

ка

трехмерного).

Совокупность чисел, взятых в определенном порядке образуют n-мерный

вектор.

Обычно он обозначается той же буквой, что и компоненты.

x=(x1,x2,...,xn)

В экономике n-мерные вектора имеют широкое применение, наприм р:

x=(x1,x2,...,xn) — набор товаров

y=(y1,y2,...,yn) — соответствующие цены.

Равенство n-мерных векторов x=y, если (xi=yi, i=1,...,n)

Сумма x+y=z;

zi=xi+yi; i=1,...,n

Ui=λxi;

i=1,...,n

Произведение вектора на число λx=U;

Линейные операции — это сложение и умножение вектора наоч сло. Они

удовлетворяют всем законам алгебры:

+y=y+

x (коммутативный закон)

2. (x+

)+z=x+(y+z) (ассоциативный закон)

(ассоциативность с числовым множителем)

3. α(βx)=(αβ)x

4. α(x+y)=αx+αy (дистрибутивный закон)

5. (α+β

)x=α

x+βx

0=(0,0,...,0)

x+(-x)=0

ая

8. 1*x=x

Определение: множество векторов, в котором определены операции сложения

векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1-8

называется векторным пространством и обозначается Rn.

Если под

z можно

рассматрив ть не только векторы, но и элементы

x,y,

(объекты) другой природы, то в этом случае множество элементов называется

линейным пространством.

Размерность и базис вектор ого пространства.

Понятия линейной зависимости и линейной независимости вектров вводится так же как и для двух- и трехмерных векторов.

λ1а1 + λ2а2 + … + λnan=0осуществуют λ1, λ2, …, λn не равные одновременно нулю. В противном случае, векторы а1, а2,..., аn называются линейно независимыми, то есть если все λ1=λ2=...=λn=0

Определение. Вект ры а1, а2, … , аn называются линейно зависимыми, если при

Если векторы

а2, …, ак линейно зависимы, то один из них можно выразить

как линейную

омбинацию других векторов, пусть λк ≠ 0, тогда

ак= λ1а1 + λ2а2

т+ ...+ λк-1ак-1,

Отм тим важные свойства векторов линейного пространства.

1.Если ср ди в кторов а1, а2, … , аn есть 0 — вектор или несколько нулевых

векторов, то эти векторы линейно зависимы. Пусть

ак =0, тогда λк ≠ 0.

Задачал9.е1: Выяснить, являются ли векторы а1=(1;3;1;3); а2=(2;1;1;2); а3=(3;-1;1;1) линейно зависимы.

Решение. λ1а1 + λ2а2+λ3a3=0

(-3)

2λ1+ λ2=0 (-2)

(-1) 0=0

ка

(-1) λ1+ λ2+λ3=0

(-2)

λ1

+ λ2 1 + λ3

-1 = 0

λ1 +2λ2 +3λ3=0

λ1+ λ2+λ3=0

3λ1+ λ2 -λ3=0

4λ1+ 2λ2=0

2λ1+ λ2=0

3λ1+ 2λ2+ λ3=0

- 2λ1-λ2=0

0=0

					и
Пусть λ1 =1; λ2 =-2 λ3=1 т.е. не нули, следовательно			а1	,а2,а3 — линейнот
зависимы.				л
Размерность векторного пространства — это max ч сло содержащихсяо						в нем
линейно независимых векторов и обозначается dim (R).
		б
Совокупность n-линейно независимых векторов n-мерного векторного
пространства называется его базисом.	и
Справедлива следующая теорема:	и
Справедлива следующая теорема:

Каждый вектор x линейного пространства R можно представить и при том единственным способом в виде линейной комб нации векторов базиса.

Равенство (*) называется разложением вектораб x по базису е1,е2, … ,еn а числа x1,x2, …, xn называются координатами вектора относительно этого базиса. И это разложение единственно. (без доказательства).

x=x1е1+ x2е2+...+x3е3 (*)

Базис называется ортогональным, если базисные векторы взаимно перпендикулярны, и нормированным, если базисные векторы единичны, то есть норма каждого вектора равна единице. Если нет оговорок, то мы будем

рассматривать ортонормиров нный б зис, т.е. базис, в котором базисные
																				k)
векторы взаимно перпендикуляр ы и единичны ( i; j;																				k)
														ая
														ая
Задача 9.2. В базисе е1,е2,е3 зада ы векторы а1=(1,2,0), а2=(2,0,1), а3=(0,1,2).
Показать что векторы а						,
Показать что векторы а					1	,	а2,а		3		образуют базис. Найти координаты вектора
в=(-1,2,1) в этом базисе.								н				н
в=(-1,2,1) в этом базисе.

				о
Решение. Векторы а1,а2,а3 бразуют базис, если они линейно независимы, то
			р					+ λ2а2+λ3a3=0 данного равенства все коэффициенты
есть при выполнении λ1а1								+ λ2а2+λ3a3=0 данного равенства все коэффициенты
λ1= λ2= λ3=0.
Проверим это: составим систему
λ1+2 λ2=0	к	т									(-2)
λ1+2 λ2=0											(-2)
2λ1 +λ3=0								=		1 2 0					=	1 0 0			= -8 - 1 = -9 ≠ 0
2λ1 +λ3=0										1 2 0						1 0 0
λ2+2 λ3=0	Вычислим										2		0 1			2	-4	1
										0			1	2		0	1	2
										0			1	2		0	1	2

Г авный определитель не равен нулю, значит система имеет единственное

Э		50	линейно
ну евое решениее		λ1= λ2= λ3=0 следовательно векторы а1,а2,а3
независимы.
Разложимл	вектор в в этом базисе

в=х1а1+ х2а2 + х3а3

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.2015154.55 Кб29kursovaya_NALOGI.docx
#
16.11.20181.11 Mб11kursovaya_PAS.docx
#
15.05.2015383.49 Кб17kurs_proekt_statistika.doc
#
15.05.2015306.18 Кб59Lektsia_9.doc
#
15.05.2015534.02 Кб11lesson.doc
#
15.05.201516.87 Mб18lineynaya_algebra_Yudina.pdf
#
15.05.20151.32 Mб30matem2.doc
#
15.05.2015113.66 Кб19MEPP_kur_r_2012.doc
#
15.05.2015169.98 Кб71Metodichka.doc
#
15.05.20151.23 Mб102metodichka_po_razrabotke_tem_dipl_pr_2014g.doc
#
25.08.201935.14 Кб2Ministerstvo_obrazovania_i_nauki_Respubliki_Tat...docx