lineynaya_algebra_Yudina

r(A)=2, значит главных неизвестных 2, и свободных тоже два. n-r=4-2=2.

x1+2x2-2x3+3x4= -6

Уравнения 2, а неизвестных 4.

ка

Главными или основными неизвестными могут быть (х1;х2) (х2;х3) (х1;х3)

(х1;х4) (х2;х4) (х3;х4)

е

∆ =

1

2

≠ 0

то (х1;х2)

можно взять за основные и.т.д

о

=т0

0

-5

и

(х2;х3) – не могут быть основными

∆2=

2 -2

= 10-10=0 т.к 2

-5

5

б

л

Найдем первое базисное решение (х1;х2), тогда

х3=х4=0

х1+2х2= -6

и

х1= -6-2х2= -6+34/5=4/5

(4/5; -17/5; 0; 0)

-5х2=17

х2= -17/5

б

Второе базисное решение (х1;х3)

тогда

х2=х4=0

х1-2х3=-6

х1=2х3-6=34/5 – 6=4/5

5х3=17

ая

(4/5; 0; 17/5; 0)

Третье: (х1;х4)

тогда х2=х3=0

х1+3х4= -6

х1= -6-3х4= -6+51/7=9/7

(9/7; 0; 0; -17/7)

-7х4=17

н

х4= -17/8

Четвертое:

н

х1=х2=0

-2х3+3х4= -6

о

(0, 0, 9, 4)

5х3-7х4=17

Пятое (х2;х4),

т

к

ì2х2

+ 3х4

= -6 ì2х2 + 3х4 = -6 ìх2 = -9

тогда х1=0

х3=0

í

í

í

î- 5х2 - 7х4 = 17 îх4 = 4

îх4 = 4

е

р

(0; -9; 0; 4)

л

Ответ: Пять базисных решений.

Э

17

æ 4

17

9

17 ö

31

(0; − 9; 0; − 4)

æ

4

ö

ö

æ

(0; 0; 9; 4)

;

ç

; -

; 0,0÷;

ç

; 0;

; 0÷;

ç

; 0;

-

÷

è

5

5

ø è

5

5

ø

è

7

7 ø

Пусть дана система линейных однородных уравнений.

т

е

ка

а11х11+а12х2+…+а1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

………………………...

amx1+am2x2+…+amnxn=0

Однородная система всегда совместна, т.к. она имеет по крайней мере одно

решение нулевое (0, 0, … 0) – оно называется тривиальным.

о

и

Система однородных уравнений имеет ненулевые ( нетривиальные) решения

Решение системы запишется х1=к1; х2=к2; … хn=kn в видел

строки l1=(k1, k2 . . .

kn)

б

Свойства:

всякая линейная комби ация решений системы линейных однородных

уравнений также является реше иемаяэтой системы.

. . lк

называется

Система линейно

езависимых

решений

l1, l2 .

о

решение

системы

является

линейной

фундаментальной, если каждоен

комбинацией решений l1, l2 . . . lк .

Теорема:

н

Если ранг мат ицы меньше r<n, то всякая фундаментальная система решений

т

состоит из n-r ешений.

к

с.л.а.у. имеет вид: c2l1 +c2l2+ . . . +c1lk где l1, l2 . . . lк –

Поэтому общее решениер

любая фундаментальная система решений, с1,с2…ск – произвольные числа и к=

n-r

е

Общ

р ш ние системы линейных неоднородных уравнений с n переменными

л

равно сумме общего решения соответствующей системы однородных линейных

уравнений и произвольного частного решения этой системы.

Э

32

х1-2х2+х3=0

ка

-2х1+4х2-2х3=0

3х1-6х2+3х3=0

1

-2

1 (2)(-

3)

1

-2

1

е

-2

4 -2

~

0 0

0

r=1

т

3

-6 3

0

0

0

Отбрасываем два уравнения и из первого получаем:

х1-2х2+х3=0 х1=2х2-х3 – 2 свободных неизвестных

Давая свободным неизвестным поочередно значения равные элементамо

столбцов определителя

=

1 0

б

л

и

0 1

1) х2=1

х3=0

х1=2

(2,1,0)

и

2) х2=0

х3=1

х1= -1

(-1,0,1)

б

1

2

Линейно независимые векторы – столбцы

2

-1

ая

l = 1

l =

0

являются решением системы

0

1

Любое решение согласно теореме представляет линейную комбинацию

векторов

н

l1 и l2

н

2

-1

Решение системы У=λ1l1+ λ2l2= λ1 1

+ λ2 0

о

0

1

Векторы l1 и l2 образуют базис подпространства (n-r) размера, т.е. двухмерное

пространство.

р

Пример 4.2.

к

специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог,

Обувная фабрика

кроссовок и ботинок, при этом используется сырье трех типов S1, S2, S3. Нормы

расхода

аждоготиз них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день

заданы таблиц й в усл. ед.

л

Нормы расхода сырья на 1 пару (усл. ед.)

Вид сырьяе

Расход сырья на

Э

1 день в усл. ед.

Сапоги

33

Ботинки

Кроссовки

S1

5

3

4

2700

S2

2

1

1

900

S3

3

2

2

1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

ка

3х1+2х2+2х3=1600

Пусть ежедневно фабрика выпускает х1-пар сапог, х2-кроссовок, х3-ботинок,

составим систему:

5х1+3х2+4х3=2700

е

2х1+х2+х3=900

т

о

(-

4)(-2)

2

1

1

900

2

1

1

800

и

3

2

2

1600

~ -1

0

0

-200

5

3

4

2700

-3

-1

0

-900

л

-х1= -200

х1=200 3х1+х2=900 х2=900-600=300

б

х3=200

Ответ: (200, 300, 200)

и

§2.5 Задачи для самостоятельной работы

б

Методом обратной матрицы и по формулам Крамера решить системы

уравнений.

ая

ì- х + 3у

2

- х = -1

ì2х1 - 2х3 = -4

ï

1

3

ï

2.1

х1 + 6х2

= 2

2.2

í

н

í- х1 + 2х2 + 2х3 = 3

ï- х + 4х

2

- 3х = 1

ïх + 3х

2

- х = -2

î

1

3

î

1

3

ì2х + 4х

2

+ 6х = 10

н

ìх1 + 2х2 + х3 = 8

ï

1

3

о

ï

2.3.

í2х - х

2

- х = 1

2.4.

í2х1 + х2 + х3 = 7

ï

1

3

ïх + х

+ 2х = 9

îх1 + 3х2 + 4х3 = 6

2

î

1

3

ì

х

+ х

2

- х

= 7

ì3х1 + х2 - 2х3 = -1

ï

1

3

х

-

х

к

= 9

+ х

ï

2.5.

í

1

2

3

р

2.6.

í2х - 3х

2

= -3

ï- х + х

+ х = -7

ï

2

î2х1 - 2х2 + 2х3 = 0

î

1

т

3

Методом Гаусса решить системы уравнений

Э

ìх -ех

- х = 0

34

ì2х

- х

2

+ х = -3

ï

1

2

3

ï

1

3

2.7.

íх - 3х = -5

2.8.

í2х - 3х

2

+ х = -5

ïл1

3

ï

1

3

îх1 + 3х2 + 4х3 = 6

î2х2 + 2х3 = 2

ì- х1 - 2х2 + х3 = 0

ìх1 + х2 - 2х3 = 0

ка

ï

1

2

3

ï

1

2

3

ï2х - х

= -3

ï

- х

+ х = 3

2.9.

í

1

2

2.10.

ïх

1

2

3

ï

х + 3х

2

+ х = 3

2

- 5х = -4

î

1

3

î

3

т

ì- х + 2х + 2х = 1

ì4х + х - х = 2

е

2.11.

í2х1 - 3х2 + х3 = -1

2.12.

íх1 - 2х2 + 3х3 = -5

ï

ï

î4х1 + х2 - 4х3 = 5

î2х1 + 3х2 - 2х3 = 5

ìх2 + 3х3 - х4 = 10

ìх + 2х - 3х - 4х = 4

ï

х1

+ 3х2 + 8х3 - х4 = 22

1

л

2

3 о

4

ï

ï2х1 + 3х2 - 4х3

- 5х4 = 4

í4х

ï

2.13.

+ 2х

2

- 3х

4

= 11

2.14. íх

+ х

2

- 2х

- 2х

4

= 2

ï

1

ï

1

и3

ï

ï4х + 3х

2

-

4х - 6х

4

= 3

î- х1 + х2 + 3х3 = 7

и

î

1

3

ìх + 3х

+ 4х - 2х

= 2

ì

х1

+ 2х2 - х3 + х4 = 1

ï

1

2

3

4

б

ï

б

ï

- 3х - 7х

2

- 8х + 2х

4

= -4

ï3х

- х

2

+ 2х

3

- х

4

= -1

1

3

1