Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lineynaya_algebra_Yudina

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

16.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

0 ≤ ϕ < π

(-2)

ка

х1+2х2

= -1

х1+2х2 = -1

2х1+х3 = 2

<=>

-4х2+х3 = 4

<=> х2+2х3 = -1

х2+2х3 = -1

9х3 = 0

(4)

х1=1

в=а1-

а2

<=> х2=-1

х3=0

Ответ: в = а1 - ас

§3.10 Евклидово пространство

Мы определили линейное векторное пространство, в котором можно

складывать векторы и умножать на число, ввели понятие размерностии

и базиса.

Угол между двумя векторами x и y определяется равенством cosϕ = x × y , где

Теперь введем матрицу, т.е способ измерения длин и углов. Это можно сделать,

если ввести понятие скалярного произведения двух n-мерныхл

векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов

= (x1, x2, xn ) и

= (y1, y2, yn ) называется число

= x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn = åxi yi .

i=1

Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если

= (x1, x2, xn )- набор различных товаров, а

= (y1, y2, yn ) - вектор их цен, то

скалярное произведение

выражает из суммарную стоимость.

Скалярное произведение имеет свойства:

ая

(

3) (λ x)× y = λ (x × y)

> 0 , если

улевой вектор

= 0 , если

- нулевой вектор.

Вклидовым пространств м.

Длиной (нормой) вект ра х в евклидовом пространстве называется

= x12 + x22 +...+ xn2

произв д ниекравно нулю.

. Два ве тора называются ортогональными, если их скалярное

Векторы 1, 2, ..., еn евклидова пространства образуют ортонормированный базис, сли эти векторы попарно ортогональны и норма каждого равна единице,


Э				51
т.е.	еi	е=1, еi∙еj=0; при i ≠ j		еi∙еj=1; при i=j. Векторы е1,е2, ..., еn линейно

независимы.
Теоремал			: Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует

ортонормированный базис — это основная теорема.

§3.11 Линейные операторы

m		каn
Одно из основных понятий матричной алгебры является понятие линейного
оператора.	е

Определение. Если задан закон (правило) по которому каждому ве тору х

пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор у пространства R , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(х) из R в

Rn и любого числа λ выполняются соотношения:					и	т
1.)			А(х+у)= А(х)+А(у)
2.)			А(λх)=λА(х).
	=А(
							у
у		х) называют образом вектора		х, а сам вектор х — прообразом вектору

Rm и записывают у=А(х).	о

Оператор называется линейным, если для любых векторов х и у прос ранства

Если пространства Rn и Rm совпадают, то оператор А отображает пространство
и	л

Rn в себя. Такие операторы мы и будем рассматривать. Связь между вектором х


и у можно выразить в матричной форме.					б	б
У=А∙Х, где А — матрица линейного оператора.
Например у1	а11	а12	х1	у1=а11х1+а12х2
у2	= а21	а22	х2 <=>	у2=а21х1+а22х2

Преобразование двумерного вектора называется преобразованием плоскости,

			н
трехмерного — преобразованием пространства.
		н		аяые векторы и собственные
§ 3.12 Собстве				аяые векторы и собственные
	о	з аче ия линейного оператора
р
р

Определение. Вект р х≠0 называется собственным вектором линейного оператора А, если найдется такое число λ, что А(х)=λ(х).

Число λ — называе ся собственным значением оператора А (матрицы А),
			к
соответствующим вектору х, то есть
АХ	=λХ или в развернутом виде
		е			(1)
		а11х1+а12тх2+а13х3+...+а1nxn=λx1			(1)
		a21x1+a22x2+ ...		+a2nxn=λx2
Э		an1x1+an2x2+ … +annxn=λxn
Э					52
Перепишем систему (1) в виде:
	л	(а11-λ)х1+а12х2 + … +а1nxn=0
	л	a21x1+(a22-λ)x2+ … +a2nxn=0

an1x1+ an2x2+ … +(ann-λ)xn=0

Эта однородная система имеет ненулевое (нетривиальное) решение если =0. Чтобы найти собственный вектор, надо подставить собственное число λ в систему (1) и найти х1,х2, … ,хn.

Это есть многочлен n-степени относительно λ. Решая его находим λ. Этот многочлен называется характерическим уравнением оператора А или матрицы

Подставляем λ1=-2; в систему получим 5х1+4х2=0; считая х2 свободным х2=с;

А. Каждому характерическому значению λ соответствует множество

ка

параллельных векторов.

Пример 12.1: Найти собственные числа и собственные векторы лин йного

оператора А, заданного матрицей

А =

Решение.

АХ = λ Х

= λ

3х1+4х2=λх1

(3-λ)х1+4х2=0

5х1+2х2=λх2

5х1+ (2-λ)х2=0

3-λ

= (3-λ)(2-λ)-20 = 6-2λ-3λ+λ2-20 =бλ2 -5λ-14 = 0

│А-λЕ│=

2-λ

-2

λ=

Находим вектор

соответственно числу λ1=-2

ая

х1=-0,8c

Итак вектор

'=(-0,8c; c).

Например, с=5, то x'=(-4,5)

Подставляем λ2=7, получим

-4х1+4х2=0

-х1+х2=0

5х1-5х2=0

х2=х1

Пусть х1=с1, тогда х2=с1;

x" =(c1;c1).

Например с1=1; x"=(1,1).

7 = 7 1

Проверка 3 4

равенство верно.

5 2

Ответ:

'=(-0,8c; c);

" =(c1;c1).

Геометрический смысл собственного вектора — это вектор, который при

		е
преобразованиитА только удлиняется, а λ — коэффициент удлинения.
Э	л
Э		53

§3.13 Линейная модель обмена

В качестве примера математической модели экономического процесса,
приводящей к понятию собственного вектора и собственного знач ния
		т
матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной ка
торговли).	о
Пусть имеется n стран S1,S2, … ,Sn, национальный доход каждой из коеорых

равен х1,х2, … ,хn. Обозначим коэффициентами aij долю наци нальн го дохода, и которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si. Будем считать, что

весь национальный доход тратится на закупку товаров л бо внутри страны, либо на импорт из других стран, то есть ∑aij=1 (j=1,2, … ,n).

которая получила название структурной матрицы торговлил .

Рассмотрим матрицу а11	а12	… а1n		б
A = a21	a22	… a2n		б
an1	an2	… ann	и
			и

Сумма элементов любого столбца матрицы А равна единице. Следовательно, для любой страны Si (i=1, … , n) выручка отбвнутренней и внешней торговли

составит Pi= a11x1 + a12x2 + … + a1nxn .

Для сбалансированной торговли необходима ездефицитность торговли каждой страны Si , то есть выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода pi≥xi. Неравенство pi>xi невозможно (доказательство опускаем) и условие pi≥xi (i=1,2, … , n) принимает вид pi=xi .

										x1
Введя вектор									= x2
Введя вектор								x	= x2
										x3		н
получим уравнение АХ=Х. Задачааясвелась к отысканию собственного
вектора матрицы А при λ=1.
											о		имеет вид
Пример: структурная матрицанторговли трех стран S1,S2,S3													имеет вид
	1		1			1		т		р
	1		1			1
		3		4			2
	1		1			1
							к
A =		3			2		2
		1			1
	3				е	0
	3		4			0
Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.
	л
Находим собственный вектор Х, отвечающий собственному значению λ=1,
решив уравнение (А-Е)Х=0
Э												54

æ - 2 1 1

æ0

ка

æ 1 ö

1 -1 1

÷ = ç

-1

æ - 2 1 1

3 ø

-1

0 ÷

-1

0 ÷

ç 3

4 2

(-1)

-1

(3)

-1

2 ÷

ç 1 1

-1

- 3 ÷

3 - 3

è 3 4

2 ø

0 0

0 ø

- х +

= 0

х2 +

х3 = 0

ая

x2 = c

x1 =

x = (23

x1 =

x2 = 2c

c; 2c; c)

x3 = c

x3 =

2 c

То есть сбалансированность торговли 3-х стран достигается при векторе

= 3( c; 2c; c), то есть при соот ошении доходов стран

3 : 2 : 1

или 3 : 4 :2.

§3.14. Квадратичные формы

При решениирразличных прикладных задач часто приходится составлять

и исследовать

вадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой L(x1, x2 , x3 ....xn ) называется сумма,

каждый чл нккоторой является либо произведением двух различных

пер м нных, либо квадратом одной из переменных, взятых с некоторым

коэффициентом.

L(x1

, x2 ,....xn )= å å aij xi x j

i=1

j=1

Коэффициенты квадратичной формы aij - действительные числа, причем

ка

aij = a ji

n 12

ç 1

Матрица,

(aij

); (i,

j = 1, 2, ...n) составленная из этих

коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = X / × A × X где

X = (x1, x2,......xn )- матрица столбец переменных.

æa

a .....a

æ x

ça

....a

ç x

å åaij xi x j

L = (х1, х2,...хn )ç

÷ =

ç...................

ç.... ÷

i=1

j =1

èan1

an2.......ann ø

è xn

Пример 14.1: Дана квадратичная форма

L(x1, x2 , x3 )=

- х3

+ 2х1х2 - 4х1 х3 + 6х2 х3 . Зап сать ее в матричном

2х2

виде. Её диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах

переменных, а другие элементы половинам соответствующих коэффициентов

- 2ö æ х1 ö

квадратичной формы. L(x1, x2

÷ ç

, x3 )= (х1, х2, х3 )ç

÷ ç х2

÷ .

- 2

-1÷ ç х

ø è 3 ø

Выясним, как изменится квадратичная форма при невыраженном линейном

преобразовании переменных.

При невыраженном линейном прео разовании Х = СУ матрица

квадратичной формы принимает вид:

А* = С / АС

Пусть Х = СУ , тогда L = X / AX = (CY )/ A(CY ) = (Y /C/ )A(CY ) = Y / (C/ AC)×Y ; Значит

C / AC = A*

Пример 14.2: Дана квадр тичн я форма L(x , x

)= х 2

- 2х х

- 3х

2 .

L(y1

Найти квадратичную форму,

y2 ) полученную линейным

ая

преобразованием х1 = у1 − 2у2 ; х2

2у1 + у2

1 - 1ö

С =

æ1 - 2

Решение. Матрица квадратич ой формы А = ç

нæ

è-1 - 3ø

è1

Следовательно

А*

1 2ö æ1 1ö æ1 - 2

ö æ -1 - 7ö æ1 - 2

ö æ

-15 - 5ö

= С/ АС = ç

÷ ç

÷ = ç

÷ ç

÷ =

÷ ç

-1

÷ ç

- 5

2 1ø è1

- 3ø è2 1

ø è-1

ø è2 1

ø è

Квадратичная фо ма

) = -15у

-10у у

+ 5у 2

L(y , y

Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты

aij = 0 при i ¹ j , а ее матрица является диагональной.

L = a11x12 + a22x22

+ ..... + an nxn2 = åaii xi2

i=1

Любая квадратичная форма с помощью невыраженного линейного

преобразованияе

может быть приведена к каноническому виду.

Пример 14.3: Привести к каноническому виду квадратичную форму

+ 2x

+ 5x

+ 2x x

+ 2x x + 4x

L = xл

Решение. Сгруппируем все члены, содержащие,

x1 и дополним их до

полного квадрата:

ка

L = (x

2 + 2х × х

+ 2х х

)+ 2х

+ 5х

+ 4х

+ х

= (х12 + 2х1(х2 + х3 )2 +

(х2 + х3 )2 )- (х2 + х3 )2 - (х2 + х3 )2 + 5х3

2 + 4х2 х3 =

= (х1 + х2 + х3 )2 - х22 - 2х2 х3 - х32 + 2х22 +

5х32 + 4х2 х3 = (х1 + х2 + х3 )2

+ х22 + 2х2

х3 +

Сгруппируем все члены, содержащие,

х2 и дополним их до полного квадрата

L = (x1 + х2 + х3 )2 + (х22 + 2х2 + х32 )+ 3х32 = (х1 + х2 + х3 )2 + (х2 + х3 )2 + 3х32

Итак, невырожденное линейное преобразовании у

= х

+ х

= х

+ х

т2

у3 =

L(у

Канонический

одна

та же

Одно

многими

коэффициентами

приведения

формы

(три

привести

ая

положительных

( отрицательно

которых

определенной , а

форма

Сильвестра

)

все собственные значения матрицы А отрицательны.

к т

все главные мино ы матрицы А нечетного порядка отрицательны, а

чередуются

имеют

Иссл довать на знакоопределенность квадратичные формы.

2 + 4x

L = 2x 2

+ x

+ 2x x

- 4x x

- 2x

2) L = -2x 2

+ x 2

- 6x x

2 е

3) L = -4x 2 - x

2 + 4x x

4х32

Решение.

2 + 2x x

ка

1). Матрица квадратичной формы L

= 2x

+ x

+ 4x

- 4x x

- 2x

- 2ö

имеет вид:

-1

L1 ç

- 2

-1

Главные миноры

a11

= 2 > 0

a11 a12

2 1

= 2 -1 = 1 > 0

a21

a22

a11

a12

a13

- 2

a21 a22 a23

1 -1

= 2 > 0

a31 a32 a33

- 2 -1 4

Так как главные миноры матрицы А все положительны, то по критерию

Сильвестра данная квадратичная форма положительнолопределенная.

2). Матрица квадратичной формы L

= -2x

2 + x

2 - 6x x

имеет вид

æ- 2

- 3ö

A =

è- 3

Главные миноры матрицы А2

а11

= -2 < 0

a11

a12

- 2

- 3

ая

a21

a22

- 3

= -2 - 9 = -11 < 0 отрицательны, то по критерию Сильвестра

данная квадратичная форма не является знакоопределенной.

2 - x

2 + 4x x

- 4

2 ö

3). Матрица квадратичной формы L

= -4x

имеет вид A

= ç

Определим знакоопределе

ость формы первым способом. Составим

характеристическое урав

ие

А - λE

- 4 - λ

-1- λ

Или (- 4 - λ)(-1- λ)

= 0

-1

4 + λ +

4λ + λ2 - 4 = 0

λ2 + 5λ = 0 λ(λ + 5) = 0

λ1 = -5

λ2 = 0

< 0 , a λ = 0 , то квадратичная форма L3 не

Характеристичес ие числа λ

явля тся знакоопределенной.

§3.15 Задачи для самостоятельной работы

c = (1;3) . Построить

вектор n =

3.1. Даны три вектора а= (2;-2); b

= (-1;2);

а+

+c ; найти его длину и разложить вектор

n по векторам а и

а) коллинеарные? б) ортогональны?


3.2. На плоскости даны три единичных вектора m, n,					p, угол(m^ n)=60o ;
(n^p)=30o . построить вектор		=2 m+n-3 p и найти его длину.
	b
3.3. Даны векторы а= m+2 n и				=2 m- n, где m и n	единичные векторы,
			b

образующие угол 60o . Найти угол между векторами а и b .

3.4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на

3.7. При каких значениях α и β векторы а=2i -3 j + β k и b =α i +6 j +4 k :

векторах а= i

ка

; b =2i

- j .

3.5. Доказать, что треугольник с вершинами A(1;1), B(2;3), C(5;-1)

прямоугольный.

3.6. Даны длины векторов | а|= 11; |b |=23. | а-b |= 30; определить | а+b |.

3.10.Вектор а составляет с осями oy ox углы исоответственноб 30o и 120o . какой угол он составляет с осью oz? б

3.11.Даны точки A(1; 2; -1)и B(0;-3;4). Найти длину и направление вектор АВ .

3.12.Найти проекцию вектора а=2i + j + k на вектор b = 4i + j - k .6 k3.8. Найти длину вектора а=i +3 j - и его направляющиел ;осямикосинусы.

b =3i + j +2 k и c =- i +2 j +4 k .

3.14. Найти проекцию вектора а

на вектор

+c ,если а=(1;-3;4);

=(3;-4;2);

c =(-1;1;4).

3.15. При каком значенииλ

векторы а=λ i

-5

+3 k

и b =i

-λ k

взаимно

перпендикулярны.

ая

3.16. Какую работу производит сила

=(2;-1;-4)по перемещению из точки A(1;-

2;3)в точку B(4;3;-2).

3.17. Найти углы между сями координат и радиусвектором точки

M(3;1;-2).

3.18. В треугольнике ABC вершины имеют координаты A(1;1;-1);

B(3;2;-

1);C(2;-3;1).

Найти:

а) длины с орон;

б) внутренние углыр

в) длину медианы AM

г) угол между медианой AM и сторонойAC;

д) площадь трк

угольника ABC;

е) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.

3.19. Найти длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на

векторах а=-i

+ k

; b =i

+ j + k .

3.20.лНайти объем параллепипеда,

построенного на векторах а=(2;1;-3) ;

b =(1;2;1) и c =(1;-3;1)

3.21. Показать, что точки A(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4) и D(1;5;0) лежат в одной
плоскости.						ка
плоскости.
3.22. Дана пирамида	с вершинами в точках A1(1;2;3);A2(-2;4;1);A3(4;-3;1);
A4(7;6;3).					е
Найти
1)длину ребер A1A2,A1A3,A1A4;
2)площадь грани A1A2A4;
3)угол между ребрами A1A2 и A1A3				о
4) объем пирамиды				о
4) объем пирамиды
5)длину высоты, опущенной на грань A1A2A4.			и		а3=(0;1;5).
3.23. В базисе (e1,e2,e3) даны три вектора а1=(1;1;1); а2=(0;2;3);т					а3=(0;1;5).
Доказать, что векторы	а1, а2, а3 образуют базис и найти координаты вектора
c =2е1-е2+е3 в базисе ( а1; а2; а3).		л

3.24. Векторы а1=(-2;0;1); а2=(1;-1;0) и а3=(0;1;2)образуют базис. Выяснить,

является ли вектор а4=(2;3;4) линейной комбинацией векторов а1, а2, а3.

3.25.

Векторы

е1, е2, е3 образуют

ортогональный

азис. Найти скалярное

произведение векторов х=2е1-е2+е3;

у =е1-е2+2е3, если |е1|=|е2|=|е3|=2

3.26. Векторы е1,е2,е3 образуют ортонорм рованныйб

базис. Найти угол между

векторами а=3 е1+е2-е3 и

=2е1-е2+3е3

3.27. Найти собственные значения и со ственныеи векторы матрицы A:

1)A=

2)A= 3 -4

ая

-2 1

2 0 -6

1 1 8

A= 1 3 -2

A= 0 2 0

-1 0

1 0 -1

3.28. Найти квадратич ую формун , соответствующую матрице A:

2 1 -2

A= 1 1 -1

-2 -1 4

3.29. Написа ь квад атичную форму L в матричном виде:

1) L=3x12+x22-5x1x2

2) L=x12+x32+2x1x2+4x1x3

3.30. Прив сти к каноническому виду квадратичную форму:

а) L=x12-4x2x3+x32

б) L= x12+3x22+4x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3

3.31. Исследовать на знакоопределенность квадратичные формы:

+6x1x2

а) L=x1

+4x2

б) L= -2x12-x22-x1 х3-2x33+4x2x3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.2015154.55 Кб29kursovaya_NALOGI.docx
#
16.11.20181.11 Mб11kursovaya_PAS.docx
#
15.05.2015383.49 Кб17kurs_proekt_statistika.doc
#
15.05.2015306.18 Кб59Lektsia_9.doc
#
15.05.2015534.02 Кб11lesson.doc
#
15.05.201516.87 Mб18lineynaya_algebra_Yudina.pdf
#
15.05.20151.32 Mб30matem2.doc
#
15.05.2015113.66 Кб19MEPP_kur_r_2012.doc
#
15.05.2015169.98 Кб71Metodichka.doc
#
15.05.20151.23 Mб102metodichka_po_razrabotke_tem_dipl_pr_2014g.doc
#
25.08.201935.14 Кб2Ministerstvo_obrazovania_i_nauki_Respubliki_Tat...docx