6.2.1.Отношение шансов и логит
Отношение вероятности того, что событие произойдет,к вероятности того, что оно не произойдет,P / (1 –P),называется отношением шансов.
С этим отношением связано еще одно представление логистической регрессии, получаемое за счет непосредственного задания зависимой переменной в виде Z = Ln (P / (1 –P)), гдеP = P{y = 1| X1,…,Xp}.ПеременнаяZ называетсялогитом. По сути дела, логистическая регрессия определяется уравнением регрессииZ = B0 +B1x1 + … +Bpxp.
В связи с этим отношение шансов может быть записано в следующем виде:
P/(1–P) =
.
Отсюда получается, что, если модель
верна, изменение xkна единицупри
независимых
x1,
…,
xp
вызывает
изменение отношения шансов в
раз.
6.2.2. Решение уравнения с использованием логита
Решение такого уравнения упрощенно можно представить следующим образом
Получаются агрегированные данные по переменным x, в которых для каждой группы, характеризуемой значениямиxj =
,
подсчитывается доля объектов,
соответствующих событию {y
= 1}. Эта доля является оценкой
вероятности
.
В соответствии с этим для каждой группы
получается значение логитаZj.На агрегированных данных оцениваются коэффициенты уравнения Z = B0 +B1x1 + … +Bp x p. К сожалению, дисперсияZздесь зависит от значенийx, поэтому при использовании логита применяется специальная техника оценки коэффициентов – взвешенной регрессии.
Еще
одна особенность состоит в том, что в
реальных данных очень часто группы по
xоказываются однородными
поy, поэтому оценки
оказываются равными0или1. Таким образом, оценка
логита для них не определена (для этих
значений
).
В некоторых статистических пакетах такие группы объектов просто-напросто отбрасываются.
В настоящее время в статистическом пакете для оценки коэффициентов используется метод максимального правдоподобия, лишенный этого недостатка. Тем не менее проблема, хотя и не в таком остром виде,остается: если оценки вероятности для многих групп оказываются равными0или1, оценки коэффициентов регрессии имеют слишком большую дисперсию. Поэтому, имея в качестве независимых переменных такие признаки, как душевой доход в сочетании с возрастом, их следует укрупнить по интервалам, приписав объектам средние значения интервалов.
6.2.3. Неколичественные данные
Если в обычной линейной регрессии для работы с неколичественными переменными нам приходилось подготавливать специальные индикаторные переменные, то в реализации логистической регрессии в SPSS это делается автоматически. Для этого в диалоговом окне специально предусмотрены средства, сообщающие пакету, что ту или иную переменную следует считать категориальной. При этом, чтобы не получить линейно зависимых переменных, максимальный код ее значения (или минимальный, в зависимости от задания процедуры) не перекодируется в дихотомическую (индексную) переменную. Впрочем, средства преобразования данных позволяют не учитывать любой код значения. Имеются другие способы перекодирования категориальных (неколичественных) переменных в несколько переменных, но мы будем пользоваться только указанным способом как наиболее естественным.
6.2.4. Взаимодействие переменных
В процедуре логистической регрессии в SPSS предусмотрены средства для автоматического включения в уравнение переменных взаимодействий. В диалоговом окне в списке исходных переменных для этого следует выделить имена переменных, взаимодействия которых предполагается рассмотреть, затем переправить выделенные имена в окно независимых переменных кнопкой c текстом > a b > .