Головизин_Лекции / Лекция 2. Поле комплексных чисел

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 2. Поле комплексных чисел.

Краткое содержание: построение поля комплексных чисел, алгебраическая форма записи комплексного числа, действия с комплексными числами в алгебраической форме записи, комплексно сопряженные числа, извлечение квадратного корня из комплексного числа, решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел.

Глава 2. Поле комплексных чисел.

п.1. Построение поля комплексных чисел.

Пусть – декартов квадрат поля действительных чисел, т.е. – множество упорядоченных пар действительных чисел. Определим на этом множестве две внутренние бинарные алгебраические операции – сложение и умножение по следующим правилам: положим по определению

(1)

(2) .

Очевидно, что сумма и произведение двух пар из снова есть пара из множества , т.к. сумма, произведение и разность действительных чисел есть действительные числа. Таким образом, – алгебраическая структура с двумя внутренними бинарными алгебраическими операциями.

Теорема. – поле.

Доказательство. Последовательно проверяем выполнение всех девяти аксиом поля.

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

.

Пусть . Тогда по определению сложения пар и .

С другой стороны, и .

Так как R поле, то сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности и поэтому и . Отсюда следует равенство пар , а отсюда следует, в свою очередь, равенство , ч.т.д.

2. Существование нулевого элемента:

.

Обозначим , где 0 – нулевой элемент поля действительных чисел, т.е. число нуль. Пусть – произвольная пара из . Тогда по определению сложения пар и . Следовательно, и пара есть нулевой элемент относительно операции сложения, существование которого и требовалось доказать.

3. Существование противоположного элемента:

.

Пусть – произвольная пара из .

Покажем, что противоположным элементом является пара

. Действительно, по определению

сложения пар имеем:

и . Отсюда следует равенство , ч.т.д.

4. Закон коммутативности относительно сложения:

.

Пусть – две произвольные пары. Тогда по определению сложения пар имеем:

и . Так как R – поле, то в нем выполняется закон коммутативности сложения и , , откуда следует равенство пар: и , ч.т.д.

5. Закон ассоциативности относительно умножения:

.

Пусть . Тогда по определению умножения пар

, и

.

.

В результате получились равные пары. Следовательно, , ч.т.д.

6. Существование единичного элемента:

.

Положим по определению и покажем, что – единичный элемент относительно умножения. Пусть . Тогда по определению умножения пар , . Таким образом, , ч.т.д.

7. Существование обратного элемента:

.

Пусть и , т.е. числа а и b одновременно не равны нулю, а значит . Положим по определению и покажем, что этот элемент удовлетворяет равенству . Действительно, по определению умножения пар

,

. Таким образом, мы проверили выполнение равенства , ч.т.д.

8. Закон коммутативности относительно умножения:

.

Пусть – две произвольные пары. Тогда по определению умножения пар

, . Так как R – поле, то умножение и сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности и

, , откуда и следует равенство , ч.т.д.

9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и .

Пусть . Тогда по определению сложения и умножения пар

,

. Здесь мы воспользовались законом дистрибутивности умножения относительно сложения, которому подчиняются действительные числа. Аналогично,

, и

. Отсюда мы видим, что .

Для доказательства второго закона дистрибутивности воспользуемся только что доказанным законом дистрибутивности и законом коммутативности относительно умножения, который мы тоже уже доказали:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Поле называется полем комплексных чисел, а его элементы – упорядоченные пары действительных чисел, называются комплексными числами.

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначим через – подмножество поля , состоящее из тех пар действительных чисел, второй элемент которых равен нулю. Пусть . Тогда по правилам сложения и умножения пар , . Это дает нам возможность отождествить такие пары с их первым элементом, а само множество с множеством R.

Положим по определению . Отсюда, в частности, , .

Далее, заметим, что любую пару из мы можем представить в виде: .

Для пары введем специальное обозначение. Положим по определению . Тогда

(3) .

Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической.

Само поле комплексных чисел обозначают буквой С.

.

Заметим, далее, что . Это означает, что комплексное число является корнем квадратного уравнения . Легко видеть, что вторым корнем этого уравнения является комплексное число . Действительно, .

Таким образом, можно дать следующее определение комплексных чисел.

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел , которая обычно записывается в виде , где элемент i является корнем квадратного уравнения , т.е. .

Определение. Пусть – алгебраическая форма записи комплексного числа. Элемент i называется мнимой единицей. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается .

Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым.

Из определения алгебраической формы записи комплексного числа (см. равенство (3)) сразу же вытекает условие равенства двух комплексных чисел:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.

.

Здесь & – знак конъюнкции, логическая связка "и".

Замечание. Из определений вытекает, что , т.е. любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое:

п.3. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи.

Из определения сложения пар (1) и алгебраической формы записи комплексного числа (3) следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть , – произвольные комплексные числа. Тогда

(4)

(5) .

Заметим, что этот же результат можно получить пользуясь доказанной теоремой. Множество комплексных чисел образует поле. В поле справедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как в замечании в конце п.2. – как результат сложения двух комплексных чисел. Тогда

.

. Здесь мы воспользовались равенством .

Таким образом, нет нужды запоминать правила сложения (4) и особенно умножения (5). Далее, понятно, что – нулевой элемент, – противоположный.

Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:

.

Примеры. 1)., , ,

,

.

2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:

.

Решение. Находим дискриминант . По формуле корней квадратного уравнения находим корни:

. Ответ: .

Замечание. Здесь мы использовали равенство , откуда .

Определим операцию деления в любом поле К как умножение на обратный элемент: положим по определению и .

Легко проверить, что ,

(6) .

Действительно,

.

Однако, нет необходимости запоминать формулу (6). Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.

Определение. Комплексное число называется комплексно сопряженным комплексному числу .

Из определения сразу же следует, что число является комплексно сопряженным числу , т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являются комплексно сопряженными друг другу.

Пример: и , i и – i, и т.п.

Правило деления комплексных чисел.

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю.

.

Примеры. ,

, , .

Замечание. Если , то комплексно сопряженное к нему число обозначается .

п.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.

Теорема.

1. .

2. .

3. .

4. .

5.

6. .

7. .

8.

9. Для любого многочлена с действительными коэффициентами от комплексной переменной z

.

Доказательство. 1) Пусть – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа и , ч.т.д.

2) Пусть . Тогда и . С другой стороны, и , откуда и следует, что .

3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство верно для любого числа слагаемых n.

а) База индукции.

При , равенство только что доказано.

б) Индукционная гипотеза.

Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно :.

в) Индукционный переход.

Так как утверждение верно для двух слагаемых, то

. Далее используем индукционное предположение:

, откуда и следует доказываемое равенство.

4) Пусть . Тогда и . С другой стороны, , откуда и следует, что .

5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.

6) Пусть и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа , ч.т.д.

7) Пусть а – действительное число. Тогда и по определению комплексно сопряженного числа , ч.т.д.

8) Пусть . По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах , ч.т.д.

9) Пусть z – комплексная переменная и – многочлен от комплексной переменной z с действительными коэффициентами:, где

– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Обозначим . Тогда , , . Отсюда, .

п.5. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа.

Определение. Пусть – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

Позже будет доказана следующая теорема, которую мы пока примем без доказательства.

Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.)

Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа.

Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие. Если а – положительное действительное число, то по определению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем.

Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При этот единственный корень является по определению арифметическим, при этот единственный корень не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противоположного числа: , где является арифметическим, т.к. .