Головизин_Лекции / Лекция 18. Поверхности второго порядка

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 18. Поверхности второго порядка.

Краткое содержание: эллипсоид, конус, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

Глава 17. Поверхности второго порядка.

п.1. Определение поверхности второго порядка.

Определение. Поверхностью второго порядка называется ГМТ пространства М(х, у, z), координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени с тремя неизвестными:

. (1)

п.2. Канонические уравнения поверхностей.

Мы примем без доказательства тот факт, что для любой поверхности второго порядка существует такая ПДСК в которой ее уравнение будет иметь наиболее простой вид. Такое уравнение поверхности называется каноническим, а соответствующая система координат называется канонической для данной поверхности.

Теорема. Уравнение любой поверхности второго порядка можно привести к каноническому виду.

п.3. Классификация поверхностей второго порядка по виду канонического уравнения.

1) Эллипсоид: .

2) Мнимый эллипсоид: .

3) Конус: .

4) Мнимый конус: .

5) Однополостный гиперболоид: .

6) Двуполостный гиперболоид: .

7) Эллиптический параболоид: , .

8) Гиперболический параболоид: ,

9) Эллиптический цилиндр: .

10) Мнимый эллиптический цилиндр: .

11) Пара мнимых пересекающихся плоскостей:

или или .

12) Гиперболический цилиндр: .

13) Пара пересекающихся плоскостей:

или или .

14) Параболический цилиндр: .

15) Пара параллельных плоскостей:

или .

16) Пара мнимых параллельных плоскостей:

или .

17) Сдвоенная плоскость: .

Замечание. Как легко видеть, мнимым поверхностям не удовлетворяют координаты ни одной точки вещественного пространства, а мнимому конусу удовлетворяет единственная точка – начало координат.

п.4. Метод сечений исследования формы поверхности.