Головизин_Лекции / Лекция 16. Гипербола

. (8)

Катеты и будут в этих подобных треугольниках сходственными сторонами, против которых лежат равные углы, т.е.

,

что и является утверждением теоремы.

Итак, докажем (8).

Уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид

,

откуда, по формуле расстояния от точки до прямой на плоскости, получаем

,

где мы воспользовались равенством , которое мы получили при выводе канонического уравнения гиперболы.

Аналогично находим

,

откуда и следует равенство (8).

Теорема доказана.

Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства гиперболы.

Луч света, выпущенный из фокуса гиперболы, после отражения от зеркала гиперболы, кажется наблюдателю идущим из другого фокуса гиперболы.