Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Удмуртский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

решение.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

404.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

é u =

cos xdx

ò x

cos xdx =

ê dv =

× sin x -

2ò x sin xdx;

ê du =

2xdx

cos xdx =

ê v =

sin xú

é u =

ê dv =

sin xdx

x sin xdx =

x ×

cos x) +

ò cos xdx = - x cos x + sin x + C .

ê du =

sin xdx = -

ê v =

cos xú

Окончательно, ò

x2 cos xdx =

× sin x +

2x cos x -

2sin x + C .

Интегрирование рациональных дробей

О п р е д е л е н и е : Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

f (x) =	P (x)	=	a xm +	a xm− 1 + ...+		a	.
f (x) =	Q (x)	=	b xn + b xn− 1		+ ...+	b	.
	m		0	1		m
	n		0	1		n

Дробь называется правильной, если m < n , в противном случае, когда m і n - неправильной.

Если дробь неправильная, то простым делением ее можно представить в виде многочлена и правильной рациональной дроби.

Н а п р и м е р :

+ 2

x3 - 1+ 3

= x

x + 1+

- 1

x - 1

x -

Ax + B

Ax +

(D =

- 4q < 0) и

Рациональные дроби

( x2 + px + q)n

x - a

( x - a)n

x2 + px + q

называются простейшими дробями.

Пусть f (x) =

Pm (x)

- правильная дробь.

Q (x)

Пусть знаменатель Qn (x) допускает разложение на множители (случай только

действительных корней),

Qn (x) = (

x - α 1 ) k1 (

x - α 2 ) k2 ...( x - α l ) kl . В этом случае дробь

может

быть

представлена

виде

суммы

простейших

дробей:

P (x)

+ ...+

A1k

+ ...+

Alk

, где A11

, A12 , ..., Alk

(x)

(x - α

)

(x - α

)k1

(x - α

)

(x - α

)kl

- неизвестные числа.

П р и м е р : Найти т

x2dx

. Разложим подынтегральную функцию – правильную

(x - 1)2 (x + 1)

дробь

в сумму простейших правильных дробей:

(x - 1)2 (x + 1)

(x - 1)2

(x +

(x -

(x - 1)2

x + 1

Приведем выражения в правой части к общему знаменателю:

A (x2 - 1) + A (x + 1) + A (x - 1)2

(x - 1)2

(x +

(x - 1)2 (x + 1)

Полученное

равенство

выполняется

тождественно,

x2 = A1(x2 − 1) + A2 (x + 1) + A3 (x − 1)2 .

I способ определения коэффициентов Ai

- способ задания частных значений.

Положим x = 1, получим 2A2

= 1 Ю

1 .

Положим x =

− 1 , тогда 4A3 = 1

1 .

A1 = 3 .

Положим x =

0 , тогда − A1 + A2 + A3 = 0

Т.е.

(x − 1)2 (x + 1)

(x −

(x − 1)2

x + 1

x − 1

( x − 1)

x + 1

x − 1

( x − 1)2

II способ: приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях x .

если

14 Чx1+ 1

Имеем

x2 =

A1(x2 − 1) +

A2 (x + 1) +

A3 (x − 1)2 .

Раскрываем скобки в правой части и группируем члены с одинаковыми степенями x .

x2 = A1x2 − A1 + A2 x + A2 + A3 x2 − 2A3 x + A3 = (A1 + A3 )x2 + (A2 − 2A3 )x + (− A1 + A2 + A3 ) .

x2 :

1 =

A +

x1 :

0 =

A − 2A

x0 : 0 = − A + A + A

м A + A = 1

A = 1− A

Решаем

систему

4A3 = 1,

A3 =

A2 − 2A3 = 0

A2 = 2A3

− A + A + A = 0

− 1+ A + 2A + A = 0

A =

1 ,

A = 3 .

Т.е.

(x − 1)2 (x + 1)

(x −

(x − 1)2

x +

x − 1

( x − 1) 2

x +

x − 1

( x − 1)2

x + 1

x2dx

Тогда т

тз

+ 4

чdx =

4 ln

x − 1

−

4 ln

x + 1

C .

(x − 1)2 (x + 1)

− 1

(

)

x + 1

2(x − 1)

x −

Определенный интеграл.

f ( x) . Разобьем отрезок [a; b] на n элементарных

Пусть на [a; b]

задана функция y =

отрезков точками xi , i = 0,1, , n . И это разбиение обозначим буквой λ

λ : a = x0 < x1 < < xn = b

На каждом отрезке разбития выберем так называемую среднюю точку: ξ i

[xi ; xi+ 1 ]

i = 0,1, , n − 1 . Положим

xi =

xi − xi− 1 , i = 0,1, , n . Составим сумму

n− 1

(ξ i

)

å f

i= 0

и назовем интегральной суммой, отвечающей разбиению λ .
y	Геометрически	интегральная сумма
y	означает	сумму	площадей
	прямоугольников с длинами оснований
	D xi и высотами	f (ξ i ) .

	x1 b
a ξ 1	x1 b	О п р е д е л е н и е . Если существует предел
		О п р е д е л е н и е . Если существует предел

последовательности интегральных сумм, не зависящий от способа разбиения отрезка на части и от выбора «средних точек», то называется определенным интегралом от

функции y =

f ( x) на [a; b] и обозначается

òb

f ( x)dx .

òb

f ( x)dx =

maxlimx

0 å

f (ξ i )D xi

i →

a - нижний предел интегрирования;

b - верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл.

Пусть f ( x) ³

0, x Î [a, b], a < b .

òb

f ( x)dx

численно

равен

площади

криволинейной

трапеции,

ограниченной

прямыми

x = a,

x = b ,

графиком функции

y =

f ( x)

и осью Ox .

Основная формула интегрального исчисления.

Пусть f ( x) - непрерывна на [a; b]. Тогда

òb	f ( x)dx = F( x)	ba = F(b) - F(a) ,


a

где F( x) - любая первообразная для функции f ( x) .

Эта формула носит название формулы Ньютона-Лейбница.

П р и м е р ы . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, найти указанные интегралы и нарисовать соответствующие криволинейные трапеции.

	ò8			8	x 13 dx =		x 43		8	3	× 843 = 12 .
									8
1.		3							=
			xdx = ò
			xdx = ò				4	3		4		2
	0	0					4		0	4


												0
	π					π0						0	8
2.	ò	sin xdx =			- cos x		= - cosπ				+ cos 0 = 2 .		8
2.	ò				- cos x		= - cosπ				+ cos 0 = 2 .
	0
												1

0π

Задание 11. Продифференцировать данные функции:

1)	y =	3x − 4		;

		x3 + 3x −	2

2)y = (3sin 2x − cos2 2x)3;

3)y = lnarcsin 1− x2 ;


4)	y =	ln	3	2 −	x2		;
4)	y =	ln	3	x3 −	6x		;
				x3 −	6x
5)	y =	(2x + 3)tgx.
2.				x +	3
1)	y =			x +	3			;

			x3 − 6x			−	9
			x3 − 6x			−	9
2)	y =	lntgx3;
3)	y =	[2arctgx +			ln(1+ x2 )]4 ;
4)	y =	ln	4	3x2	+	2	;
4)	y =	ln	4	x3 +	2x		;
				x3 +	2x
5)	y =	(1+ cos x)x2 .

y =

;

x3 −

5x2 +

y =

(3cos 3x

+ sin2 3x)3;

y =

arctg 2x + 1

;

2x − 1

y =

x2 +

;

y =

(x3 + 2)sin x.

y =

;

x3 −

4x2 +

2)y = (2arcsin x + arccos x)4 ;

3)y = ln arctgx − 1;

4)	y =	ln 3	2x2	− 2	;
			x3 −	3x

5)	y =	(x2 + 1)arctgx .

y =

;

x3 + 5x2

−

y = (5tg 2x − x2 )3;

y =

earctg 2

;

2x− 1

y =

ln 4

;

x3 +

12x

(arcsin x)

y =

1− x2

4x + 1

y =

;

x2 − 16x

−

y = (4tg

)3;

y =

arcsin

1−

4x2 ;

y =

ln 3

3 −

;

x3 −

y =

( x +

sin x)x2 .

2x −

y =

;

4x −

y = (tg2x)tg 2x ;

y =

[3arctg 2x −

ln(1+ 4x2 )]4 ;

y =

ln 3

4 −

;

x3 − 4x

y =

ln sin(2x2 ).

3x −

y =

;

3x −

y =

earcsin

1− x

;

y =

(2cos2 x +

sin 2 x)3 ;

y =

ln 4

5 −

;

x3 − 15x

( x + 1)arctg

y =

2x3 + 5

;

x4 + 2x

(4arccos 2x

)3 ;

y =

−

1− 4x2

y =

ln arcsin

;

y =

1−

;

x3 +

y =

(ctgx)sec x .

10.

y =

x3 − 10

;

x4 − 8x

2)	y =	(6arctg3x +				arctg3x)4 ;
3)	y =	ln tg		1		;


					x
4)	y =	ln 3	10 − 3x2				;
			x3 −			10x

5)	y = ( x + ln x) 1x .

Задание 12. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

lim

1+ x

;

1 + 4x − 1 − 2x

3 x − 7 +

lim

;

x→ − 1

x − 2

x→ 0

lim

;

arcsin 4x − 4x

5 − 2x −

lim

;

x→ 2

arctg( x + 2)

x→ 0

lim

;

x + 4 − 2

lim

;

x→ − 2

x + 2

x→ 0

2e 2

− 2 −

x ;

lim

x − 1

;

lim

x→ 0

ln x

x→ 1

−

lim

6sin 2x − 12x ;

10. lim

4 +

x→ 0

Задание 13. Построить график функции y =

f ( x) , используя общую схему

исследования функции.

a) y = x3 + 6x2 + 9x + 4 ;

b) y =

x2 − x + 1

y =

− 2x + 2

x − 1

y = x3 + 3x2 − 9x + 5 ;

y =

x + 1

( x − 1)

a) y = x3 + 6x2 − 15x + 8 ;

y =

4x − x

2 − 4

a) y = x3 − 3x2 − 24x − 28 ;

y =

4x2 − 1

a) y = x3 + 12x2 + 45x + 50 ;

7)	y = x3 − 6x2 + 9x − 4 ;
a)
b)	y =	x2	−	x − 1		.
		x	2 −	2x
8)
	y = x3 − 3x2 − 9x − 5 ;
a)
b)	y =	(x − 2)2			.
		x +		1
9)
	y = x3 − 6x2 − 15x − 8;
a)

b)	y =	(1− x)3
		( x − 2)			2

10)	y = x3 + 3x2 − 24x + 28 ;
a)
	y =	ж x − 2			ц2
b)		з			ч .

11)		и x + 1			ш
	y = x3 − 12x2 + 45x − 50 .
a)
	y =		x5
b)				.
		x4 − 1

Задание 14. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

xdx

;

7 + x2

(3 −

x) cos xdx ;

x3 + 1

dx.

x2 −

sin

;

b. ò x ln(1 − 3x)dx ;

3x3 + 1

x2 − 1 dx.

;

5 −

xe− 7 x dx ;

x3 − 17

dx.

x2 − 4x + 3

;

5x + 3

b. ò actg4xdx ;

2x3 + 5

dx.

x2 −

x − 2

a.ò sin(2 − 3x)dx ;

b.ò x3 ln xdx ;

c. ò x22x3x− 1 dx.

+ − 6

	ò	1
a.		e 4 x− 2 dx ;
b.	ò		x sin 5xdx ;
	ò			3x3 + 25
c.						dx.
				x2 + 3x + 2
8.				dx
	ò
a.					;
			7 + 4x2

b.ò x sin 5xdx ;

x3 − 3x2 − 12

c.ò ( x − 4) ( x − 2) x dx.

;

cos2 2x

(2x + 5) sin xdx ;

x5 −

x3 + 1

dx.

x2 −

10.

cosç

- 4÷dx

;

arcsin

dx ;

x5 +

3x3 − 1

dx.

x2 +

11.

xex2 dx ;

xe3x dx ;

2x5 − 8x3 + 3

x2 −

dx.

Задание 15. Найти площадь фигуры:
1.	Ограниченной осью ординат и параболами y = 1 x2 + 2, y = x2 .
											2
2.	Ограниченной линиями y =	ln x,					x = e2 , и осью абсцисс.
3.	Ограниченной линиями x =							,	y =		x − 1 и осью ординат.
			1 −				y
4.	Ограниченной линиями x =				,		y =		1	,	y = 4 .
				y
		e x ,							x
5.	Ограниченной линиями y =						y = 1 −				x, x = − 1 и осью абсцисс.
6.	Ограниченной линиями y =					,	y =		2	−	x и осью абсцисс.
				x
7.	Ограниченной линиями y =	x2				− 1,			y =		3 .
8.	Ограниченной линиями y =	x2				− 1,			y =		x + 1.

9.Ограниченной линиями y = x2 , y = 3 − 2x2 .

10.Ограниченной линиями y = 1x , y = 4x, y = 4x .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.2018105.47 Кб36речевой материал_автоматиз.задне-и среднеязычны....doc
#
05.05.2019441.86 Кб5Решад.doc
#
13.05.201518.99 Кб42решение варианта 2.docx
#
13.05.2015924.87 Кб2879Решение задач по биологии и химии.pdf
#
13.05.2015380.29 Кб90решение по микроэкономике.docx
#
13.05.2015404.88 Кб49решение.pdf
#
31.08.2019196.1 Кб2ржев.doc
#
13.05.201577.82 Кб2Римское.doc
#
13.05.2015101.89 Кб15Ритуал и правила поведения в Японии.doc
#
17.03.2016701.95 Кб35Ричард Бендлер.Используйте свой мозг для изменений.doc
#
10.11.20191.94 Mб7Роджерс4.doc