Операция дифференцирование не выводит функцию из класса элементарных. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Укажем некоторые из них:
ò |
e− x2 dx - интеграл Пуассона (интеграл ошибок); |
||
ò |
sin(x2 )dx ïü |
||
ò |
cos(x2 )dxïý - интеграл Френеля; |
||
|
dx |
þ |
|
ò |
|
dx - интегральный логарифм; |
|
|
ln x |
||
ò |
|
sinx x dx - интегральный синус; |
|
ò |
|
cosx x dx - интегральный косинус. |
|
Простейшие приемы интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. П р и м е р ы .
1. |
ò |
(2sin x + 6 - |
4x |
2 |
)dx = |
2ò sin xdx + |
|
6ò dx - 4ò |
x |
2 |
dx = |
- 2 cos x + |
6x |
- |
|
4x |
3 |
+ C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5x4 - x3 + x + 2 |
|
æ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 ö |
|
|
|
5x3 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
ò ç |
5x |
|
- |
x + |
|
x |
+ |
|
|
|
|
÷ dx = |
|
|
|
- |
|
|
|
|
+ ln |
x |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
3x |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
æ |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
x |
ö |
|
|
æ |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 - |
|
cos x ö |
|
|
|
æ |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|||||||||||||||
3. |
ò |
ç |
|
|
|
|
|
+ |
|
sin |
|
|
|
÷ dx = |
ò |
ç |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ dx |
= ò ç |
|
|
|
|
|
+ |
|
- |
|
|
|
|
cos x÷ dx = |
||||||||||||||||
1 + x |
2 |
|
2 |
1 |
|
+ x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1 + x |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||||||||||||||
|
= |
|
2arctgx + |
1 x - |
|
|
1 sin x + |
|
C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
+ 1)2 |
|
|
æ |
x + 2 |
|
+ 1 |
ö |
|
|
|
æ |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ò |
|
|
x |
|
= ò |
x |
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
÷dx = |
ç |
|
|
x |
x |
÷ dx = |
|
x - 4 x + ln |
|
x |
|
+ C ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Метод замены переменной (метод подстановки).
Пусть функция x = ϕ ( x) определена и дифференцируема на некотором промежутке T , а X - множество значений этой функции, на котором определена функция f ( x) . Тогда, если f ( x) интегрируема, то справедлива формула:
П р и м е р ы . |
|
ò f ( x)dx = ò f [ϕ (t)] × ϕ |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
é 5x = t; dt = 5dxù |
|
1 |
|
1 |
||
1. ò cos5xdx = |
ê |
|
ú |
|
ò cos tdt = |
||
ê dx = |
dt |
ú |
= |
5 |
5 sin t |
||
|
ë |
5 |
û |
|
|
|
|
¢(t)dt .
+C = 15 sin 5x + C ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é cos x = |
t; |
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
ò |
e |
cos x |
sin xdx = |
ê |
|
= |
- |
|
|
|
|
ú |
= |
|
|
|
|
|
|
t |
dt = |
- e |
t |
+ C |
= - e |
cos x |
+ |
C ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ê dt |
sin xdxú |
- ò e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê sin xdx = |
- dt ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
é ln x = |
t ù |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. ò |
|
|
|
= |
ê |
|
|
dx |
ú |
= ò |
= ln |
|
t |
|
+ C = ln |
|
ln x |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x ln x |
|
ê dt = |
ú |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
x |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
4 |
= |
|
t |
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê x |
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
3 |
|
|
ú |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
4. |
ò |
|
|
|
|
|
|
dx = |
ê dt = |
4x |
|
dx |
ú |
= |
4 ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 arctgt + C = |
4 arctgx |
|
+ |
C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x8 |
+ |
1 |
|
|
|
t 2 |
+ 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
3 |
dx |
= |
dt |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê x |
|
4 |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
x2 |
+ |
1 = |
|
t |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
ú |
1 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x7 |
|
x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
1dx = |
ê dt |
= 2xdxú = |
|
|
|
|
7 |
|
tdt = |
2 87 |
+ |
C = |
|
|
+ |
1 + |
|
C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
16 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
xdx = |
dt |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
2 |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
ê |
x2 |
= |
t |
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
1 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ê dt = 2xdxú |
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 arcsin t + |
C = |
2 arcsin x |
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 - |
x |
4 |
|
|
1 - |
|
t |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ê |
xdx = |
dt |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
2 |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Метод интегрирования по частям. |
|
|
|
|
|||||
Пусть функция u( x) и v( x) |
- функции, имеющие непрерывные производные. Тогда: |
||||||||
|
|
|
|
ò udv = uv - |
ò vdu |
(1) |
|||
Это равенство называется формулой интегрирования по частям. |
|||||||||
П р и м е р ы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é u = |
ln x |
ù |
|
|
|
|
|
||
ê dv = dx |
ú |
|
|
|
|
|
|||
ê |
|
|
ú |
x × ln x - ò |
xdx |
|
|
||
ê |
= |
dx |
ú |
= x × ln x - |
x + C ; |
||||
|
x |
||||||||
1. ò ln xdx = ê du |
x |
ú = |
|
||||||
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|
||
ê |
ò dv = |
ú |
|
|
|
|
|
||
ë v = |
xû |
|
|
|
|
|
|||
Целые классы интегралов, |
например |
ò |
xk ln xdx, |
ò xk e x dx, ò xk cos xdx, ò xk sin xdx, |
|||||
ò eax cosbxdx берутся по частям. |
|
|
|
|
|||||
Формулу интегрирования по частям можно применять неоднократно.
|
|
|
é u = |
x |
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
x |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ò xe |
x |
dx = |
ê dv = e |
|
dxú |
= |
x × e |
x |
- ò e |
x |
dx = |
x × e |
x |
- e |
x |
+ |
C ; |
||
|
ê du = dx |
ú |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ê |
e x |
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê v = |
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|