Пусть |
y = |
f ( x) определена и непрерывна в окрестности точки x0 , включая саму точку, |
|
и вторая производная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда если |
f ′′( x) < 0 |
||
при x < |
x0 |
и f ′′( x) > 0 при x > x0 , или f ′′( x) > 0 при x < x0 и f ′ ′( x) < 0 при |
x > x0 , то |
x0 - точка перегиба.
П р и м е р : Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика
функции y = x3 - |
3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f ¢( x) = 3x2 - 3 ; f ′′( x) = 6x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Точка, подозрительная на перегиб, это точка x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
При x > |
0, |
f ′′( x) |
> |
0 и функция вогнута. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При x < |
0, |
f ′′( x) |
< |
0 и функция выпукла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Асимптоты графика функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
О п р е д е л е н и е . |
|
Если |
расстояние от точки |
M |
графика |
функции |
y = |
f ( x) до |
||||||||||||||||||
некоторой прямой стремится к нулю при x → |
± ∞ |
(неограниченном удалении точки M |
||||||||||||||||||||||||
от начала координат), то эта прямая называется наклонной асимптотой. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Если |
x |
lim |
|
f ( |
x) |
|
или |
|
lim |
f ( x) равен бесконечности, |
то |
x = x0 |
- вертикальная |
|||||||||||||
|
→ x0 + 0 |
|
|
|
|
|
x→ x0 − |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
асимптота графика функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Прямая |
|
y = kx + b |
|
является |
наклонной |
асимптотой |
графика |
функции, если |
||||||||||||||||||
k = lim |
|
f ( x) |
; |
|
b = |
lim ( |
f ( x) - kx) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→ ± ∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
x→ ± ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
|
или x → |
|
|
|
||||
Если же эти |
условия |
|
выполняются только при |
+ ∞ |
− ∞ , |
то прямая |
||||||||||||||||||||
y = kx + b |
является |
наклонной |
асимптотой |
соответствующей |
части |
графика |
||||||||||||||||||||
функции y = f ( x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если k = 0 , то асимптота графика функции называется горизонтальной. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
П р и м е р : y = x + |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x + |
|
|
|
|
æ |
|
1 ö |
|
æ |
1 |
|
ö |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
k = lim |
|
|
= lim |
ç 1 |
+ |
|
|
÷ |
= 1; |
b = lim ç x + |
|
- |
x÷ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→ ± ∞ |
|
|
|
|
x→ ± ∞ |
è |
|
|
x2 ø |
|
x→ ± ∞ è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Прямая y = x является наклонной асимптотой графика функции y = x + 1x .
Схема исследования функций при построении графиков.
1.Найти область определения.
2.Рассмотреть вопрос о четности (нечетности), периодичности.
3.Найти нули функции и интервалы ее знакопостоянства.
4.Найти асимптоты.
5.Исследовать функцию на экстремум, определить интервалы ее монотонности.
6.Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.
Полезно каждый этап исследования функции по данной схеме сопровождать соответствующим построением.
П р и м е р 1 : Построить график функции y = x3 - 3x . 1. Область определения - вся числовая ось.
lim (x3 |
- 3x) = + ¥ |
, |
lim (x3 |
- 3x) = - ¥ . |
x→ + ∞ |
|
|
x→ − ∞ |
|
2.Функция нечетная, непериодическая.
3.Функция имеет три нуля.
54
x1 = 0; x2 = - |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
3; x3 = |
3 |
|
|
|
|
|
|||
Решаем неравенство: x × (x2 - 3) > 0 Û |
x × (x - |
|
)× (x + |
|
) > 0 . |
||||
3 |
3 |
||||||||
— |
+ |
— |
+ |
|
|
||||
0
3
Функция |
положительна |
на |
|
интервалах |
(- |
|
|
|
|
|||||||||||||
3; 0) ( 3; + ¥ ) и отрицательна на |
||||||||||||||||||||||
интервалах (- ¥ ; |
- |
|
) (0; |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
k = lim |
|
f ( x) |
|
= ¥ |
Þ Наклонных асимптот нет. Точек разрыва нет, следовательно, |
||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||
|
x→ ± ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
нет и вертикальных асимптот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Найдем производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y¢ = 3x2 - 3 ; y¢ |
= 0, |
|
3 × (x2 - |
1) |
= 0, |
x1 |
= 1, |
x2 = |
- 1 - стационарные |
точки. |
Решаем |
|||||||||||
неравенства: y′ > |
0 и y′ < |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y′ = 3 × ( x - 1) × ( x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Знак |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||
|
Поведен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
||
На интервалах (- ¥ ; - 1) |
(1; + |
¥ ) |
функция возрастает, на интервале (- 1; 1) |
функция |
||||||||||||||||||
убывает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим значения функции в экстремальных точках: y(1) = - 2; y(- 1) = |
2 . |
|
||||||||||||||||||||
6. |
Находим вторую производную: y′′ = |
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решаем неравенства y′′ > |
0 и y′′ < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Знак |
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поведен |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
0 - точка перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рисуем график: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
55
П р и м е р |
2 : |
Построить график функции |
y = |
2x + 1 . |
|||
1. Область определения: x Î (- |
¥ ; 3) (3; + ¥ ) |
|
3 - x |
||||
. x = 3 - точка разрыва. |
|||||||
lim |
2x + 1 = |
- ¥ , |
lim |
2x + 1 = |
+ ¥ . |
|
|
x→ 3+ 0 |
3 - x |
|
x→ 3− 0 |
3 - x |
|
|
|
2.Функция не является ни четная, ни нечетной, непериодическая.
3.Функция обращается в ноль в точке x = - 12 .
Для нахождения интервалов знакопостоянства решаем неравенства: y > 0 и y < 0 . Решаем методом интервалов.
|
— |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
положительна |
|
на |
интервале |
æ |
- |
|
1 |
|
ö |
и |
отрицательна |
на |
интервалах |
||||||||||||||
|
ç |
|
2 |
; 3÷ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
ö |
|
(3; + ¥ ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ç - ¥ ; - |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Находим наклонную асимптоту. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
k = |
|
|
f |
( x) |
|
|
2x + 1 |
|
|
æ ¥ |
ö |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
= |
ç |
|
÷ = |
lim |
|
|
|
= |
0 . |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
x × (3 - |
x) |
¥ |
- 2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→ ± ∞ |
|
|
|
x→ ± ∞ |
|
è |
ø |
|
x→ ± ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b = |
lim ( f |
( x) |
- |
kx) = |
lim |
2x + 1 |
= |
æ |
¥ |
ö |
= - 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
- x |
ç |
¥ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ ± ∞ |
|
|
|
|
|
|
x→ ± ∞ |
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = − 2 горизонтальная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Найдем производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
æ 2x + 1ö ′ |
|
2 × (3 - x) - (2x + 1) × ( |
- 1) |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y¢ = ç |
|
|
÷ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. Производная положительна всюду, |
|||||
- |
|
|
|
(3 - x)2 |
|
|
|
|
(3 |
- x) |
|
|||||||||||||||||
|
è 3 |
x ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
функция |
определена, |
|
т.е. |
|
она |
|
монотонно |
возрастает |
на |
интервалах |
|||||||||||||||||
(- ¥ ; 3) (3; |
+ |
¥ ) , экстремумов нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
56
6. Находим вторую производную: y¢¢ = (7 × (3 - |
x)− |
2 |
) |
′ |
= 7 × (- 2) × (3 - x)− |
3 |
× |
(- 1) = |
14 |
|
||
|
|
|
(3 - x)3 |
|
||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая производная нигде в ноль не обращается. Точек перегиба нет. |
|
|
|
|
|
|||||||
y′′ > 0 |
при |
x < 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ < 0 |
при |
x > 3 . То есть на интервале (- |
¥ ; 3) |
функция вогнута, |
на интервале |
|||||||
(3; + ¥ ) выпукла. Изобразим график функции:
П р и м е р |
3 : |
Построить график функции y = |
|
(x + 1)2 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
x2 + |
2x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Знаменатель |
обращается в |
ноль |
в |
точках |
x = 0, |
x = − 2 . Область определения: |
|||||||||||
x О ( - Ґ |
; - |
2) |
U( |
- 2; 0) |
U( 0; + |
Ґ ) . Прямые x = |
0 и x = |
− 2 - вертикальные асимптоты. |
|||||||||
lim |
( |
x + 1)2 |
= + Ґ , |
lim |
( x + 1)2 |
= |
- Ґ , lim |
( x + 1)2 |
= - Ґ , |
lim |
( x + 1)2 |
= + Ґ . |
|||||
|
|
|
|
x2 + 2x |
x2 + 2x |
|
|||||||||||
x→ 0+ 0 x2 + 2x |
|
x→ 0− 0 |
|
x→ − 2+ 0 |
|
x→ − 2− 0 |
x2 + 2x |
||||||||||
2.Функция четностью, нечетностью не обладает.
3.Нули функции: y = 0 , если x = − 1 .
4.Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты.
|
|
k = |
lim |
|
|
f |
( x) |
|
|
= |
lim |
|
|
|
( x + 1) |
2 |
|
|
|
|
= |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→ ± Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ ± Ґ x Ч |
x2 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
b = |
lim |
( |
f |
( |
x |
) |
- |
kx |
) |
= |
|
lim |
|
f |
( |
x |
) |
|
= |
lim |
( x + 1) 2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ ± Ґ |
|
|
|
|
|
|
x→ ± Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
x→ ± |
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y = 1 горизонтальная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5. Найдем экстремумы, промежутки возрастания, убывания: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yў = з ( x + 1) |
2 |
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
( |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
) |
= |
|||||
ч = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ж |
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
2Ч( |
|
x + 1) Ч |
x |
+ 2x |
|
- ( x + 1) |
|
Ч( 2x + 2) ( 2x + |
2) Ч |
x |
+ |
|
2x - x |
- 2x - 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
з |
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x |
2 |
+ |
2x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
( x |
2 |
+ |
2x) |
2 |
|
|
|
||||||||
и |
|
2x ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
-2( x + 1)
=( x2 + 2x)2 .
yў = 0 |
в точке x = − 1 . |
|
|
|
|
Знак yў |
+ |
+ |
— |
— |
|
Поведение |
|
|
57 |
|
|
-2 |
|
-1 |
0 |
||
|
|
|
|||