r » |
(ln k0 (t + 1)1,5 )′ = |
(ln k0 |
+ 1,5ln(t + 1))¢ = |
|
1,5 |
|
. Или в процентах |
r » 150 |
× (t + 1)− 1 . Так, |
|
t + 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
через два года после открытия вклада |
ставка была ≈ 50% |
годовых, |
через 5 лет |
|||||||
уменьшилась до 25% и т.д.
Отметим, что абсолютная скорость роста вклада при этом не убывала, а возрастала, т.е. k ¢ = 1,5k0 
t + 1 .
Производные высших порядков.
Второй производной от функции f ( x) называется производная от ее первой
производной. И обозначается вторая производная y′′ или f ′′( x) .
Третьей производной называется производная от второй производной, и т.д. Производная n порядка – производная от n − 1 производной.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y( n) ( x) = y( n− 1) ( x) . |
|||
П р и м е р ы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
y = |
|
ln x . Найти |
y′′′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
¢ |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y¢¢ |
= - |
1 |
;. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y¢¢¢ |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
y = sin x . Найти |
y( n) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y¢ |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
π |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
cos x |
= sinç x + |
|
|
÷ |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
π |
|
|||
|
y¢¢ |
= - |
sin x = sin( x + π |
) = |
æ |
x + |
2 × |
ö |
||||||||||||
|
sinç |
|
|
÷ . |
||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
||
|
Можно доказать методом математической индукции |
|||||||||||||||||||
|
y( |
n |
) |
= |
æ |
x + n × |
π |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sinç |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применение производной в экономике.
Функция спроса – зависимость спроса D на некоторый товар от его цены P
D
P
Производная от D(P) дает приблизительно увеличение спроса при увеличении цены на одну единицу.
Функция предложения – зависимость предложения S некоторого товара от цены на него P .
S
P
Функция полезности – субъективная числовая оценка данным индивидом полезности и количества x товара для него.
u 
x
Правила Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
0 ö |
|
|
æ |
¥ |
ö |
|
||
Правила Лопиталя позволяет раскрыть неопределенности вида ç |
|
÷ или |
ç |
¥ |
÷ . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
0 ø |
|
|
è |
ø |
|
|||
Т е о р е м а |
1 . Если |
f ( x) и |
g( x) определены и дифференцируемые в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки |
x = a , за исключением, быть может, самой точки |
a , lim f ( x) |
= |
0, lim g( x) = 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
a |
|
|
|
|
x→ a |
||
g( x) ¹ |
0 , |
g′( x) ¹ 0 в этой окрестности. Если существует |
lim |
( |
f ( x))′ |
, то существует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( g( x))¢ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ a |
|
|
|
|
|
||||
lim |
f ( x) |
|
и имеет место равенство lim |
|
f ( x) |
= lim |
|
( f ( x))′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
g( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ a |
g( x) |
x→ a |
|
( g( x))¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Т е о р е м а |
2 . Пусть f ( x) |
и |
g( x) |
|
определены и дифференцируемы в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки |
x = a , |
lim f ( |
x) |
= |
lim g( x) |
= ¥ , |
|
g′( x) |
¹ 0 |
|
в |
этой окрестности. Если |
существует |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( f ( x))′ |
|
|
x→ a |
|
|
x→ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f ( x))′ |
|
|||||
lim |
|
, то существует |
lim |
f ( x) |
и имеет место равенство lim |
f ( x) |
= |
lim |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( g( x))¢ |
|
|
|
g( x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ a |
|
|
|
|
|
|
x→ a |
g( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ a |
|
x→ a |
( g( x))¢ |
|||||||||||||||||
Правила Лопиталя можно применять несколько раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
П р и м е р ы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x3 - x2 - 8x + 12)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
x3 |
- x2 - 8x + 12 |
= |
æ |
0 ö |
= |
lim |
|
= lim |
3x2 - 2x - 8 |
= |
æ |
0 ö |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x3 - 5x2 + 8x - 4)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→ 2 |
x3 |
- 5x2 + |
8x - 4 |
|
è |
0 ø |
|
x→ 2 |
|
x→ 2 |
3x |
2 - 10x + 8 |
|
è |
0 ø |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
lim |
(3x2 - 2x - 8)′ |
|
= |
lim |
|
6x - 2 |
|
= |
|
12 - 2 |
|
= |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(3x2 - 10x + 8)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x→ 2 |
|
x→ |
2 6x - 10 |
|
12 |
- 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||