Глава 4 Элементарные функции и их графики.
Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований.
Построить график функции y = |
− |
f (x) по известному графику y = |
f (x) . |
|
При одном и том же значении |
x |
ординаты точек графиков функций |
y = − f (x) и |
|
y = f (x) отличаются лишь знаком. Следовательно, график функции |
y = |
− f (x) можно |
||
получить из графика y = f (x) преобразованием симметрии относительно оси Ox .
П р и м е р . Построить график y = − 2x . Графики вспомогательных функций будем рисовать пунктиром.
y = 2x
y = − 2x
Построить график y = f (− x) |
по графику y = f (x) . |
|
||
Ордината |
графика функции |
y = f (x) в точке x равна |
ординате графика функции |
|
y = f (− x) |
в точке − |
x . Это означает, что график функции |
y = f (− x) можно получить |
|
из графика y = f (x) |
преобразованием симметрии относительно оси Oy . |
|||
П р и м е р . Построить график y = lg(− x) . |
|
|||
Построить график y = f (x − a), a > 0 .
График y = f (x − a) получается из графика y = f (x) сдвигом на a единиц вправо, а график y = f (x + a), a > 0 сдвигом на a единиц влево.
1
П р и м е р . Построить графики y = (x + 2)2 и y = (x − 2)2 .
|
y = x2 |
y = |
(x + 2)2 |
|
y = (x − 2)2 |
y = f (x) + b, b > 0 .
График y = f (x) + b получается из графика y = f (x) сдвигом на b единиц вверх, а y = f (x) - b , на b единиц вниз.
П р и м е р . Построить графики y = x2 + 1 и y = x2 − 1.
y = x2 + 1
y = x2 − 1
Действительно, |
положим x′ = x − a , y′ = |
y - b . Тогда формулу |
y = f (x - a) + b , или |
||
y - |
b = f (x - a) |
можно переписать в виде |
y′ = |
f (x′) . Таким образом, график функции |
|
y = |
f (x - a) + b , |
построенный в плоскости |
xy , совпадает с |
графиком функции |
|
y′ = |
f (x′) , построенном в плоскости x′y′ . |
|
|
|
|
Построить график функции y = kf (x), k > 0, k ¹ 1 если задан график y = f (x) .
Ординаты точек графика функции y = kf (x) получаются умножением на k соответствующих ординат точек графика функции y = f (x) . Такое преобразование графика функции y = f (x) называется его растяжением от оси x с коэффициентом k , если k > 1, и сжатием к оси x , если 0 < k < 1.
П р и м е р . Построить графики y = 2x2 и y = |
x2 |
. |
|
2 |
|||
|
|
2
y = 2x2
y = x2
y = x2
2
Построить график функции y = |
|
f (x) |
|
; |
|
f (x) |
|
= |
ì f (x), если f (x) ³ 0 |
. |
||||
|
|
|
|
í |
f (x), если f (x) < |
|
||||||||
Правило построения графика y = |
|
f (x) |
|
|
|
î - |
0 |
y = f (x) . Затем ту |
||||||
|
. Строим график функции |
|
||||||||||||
часть графика, которая расположена не ниже оси |
Ox , оставляем без изменения, а ту |
|||||||||||||
часть графика, которая расположена ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси.
П р и м е р 1. Построить график y = lg x .
y = lg x
y = lg x
П р и м е р 2. Построить график y = (x - 3)2 - 2 .
Проведем последовательно такие преобразования: y = x2
y = (x - 3)2 (сдвинем на 3 единицы вправо)
y = (x - 3)2 - 2 (сдвинем на 2 единицы вниз)
y = (x - 3)2 - 2 (оставим часть графика, расположенного не
ниже оси Ox , без изменения, а часть графика, расположенного ниже, отобразим симметрично этой оси)
3
4
5