2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x3 + 2x + |
1 |
= |
æ |
¥ |
ö |
= |
|
|
|
ç |
¥ |
÷ |
||||
6x3 - 3x2 + 2 |
||||||||
x→ ∞ |
|
è |
ø |
|
||||
3. |
lim |
e x2 |
= |
æ |
¥ |
ö |
= |
|
x2 |
ç |
¥ |
÷ |
|||||
|
x→ ∞ |
|
è |
ø |
|
|||
lim |
|
(x3 |
+ 2x + 1)′ |
= lim |
|
3x2 |
+ 2 |
= |
æ ¥ |
ö |
= |
lim |
6x |
= |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
. |
|||||||||
(6x3 - 3x2 + 2)¢ |
18x2 |
- 6x |
¥ |
36x |
6 |
|||||||||||||||||
x→ ∞ |
|
x→ ∞ |
|
è |
ø |
|
x→ ∞ |
|
|
|||||||||||||
lim |
|
(e x2 )¢ |
|
= lim |
e x2 |
× 2x |
= |
¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x2 )¢ |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→ ∞ |
|
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Упражнение.
Функция полезности должна удовлетворять двум условиям: ее первая производная должна быть положительной, а вторая – отрицательной.
Содержательный смысл: товар желателен, большее его количество обладает и большей ценностью; полезностью; однако с ростом количества потребляемого товара его рост полезности уменьшается. Убедиться в том, что функции:
a)y = ln x ;
b)y = 
x ;
удовлетворяют этим условиям.
a) y |
¢ |
|
1 |
> 0, ( x > 0) . |
|||||||||
= x |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
y¢¢ = |
- |
1 |
|
|
< |
0 . |
|||||||
|
x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b) y¢ = |
|
1 |
|
|
> |
0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
y¢¢ = |
- |
|
|
|
|
|
< 0 . |
||||||
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|||||||
Глава 7. Общие свойства функций. Исследование и построение графика функции с использованием производной.
Четность и нечетность. |
|
|
|
|
x из |
|
|||
О п р е д е л е н и е : |
Функция |
называется |
четной, если |
для любого |
области |
||||
определения |
функции |
(D f ) |
− x тоже |
принадлежит |
области |
определения и |
|||
f (- x) = f ( x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р : |
y = |
x2 |
- четная функция. |
|
|
|
x из области |
||
О п р е д е л е н и е . |
Функция называется нечетной, если для любого |
||||||||
определения функции − x тоже принадлежит области определения и |
f (- |
x) = - |
f ( x) . |
||||||
П р и м е р : |
Пример: y = x3 |
- нечетная функция. |
|
|
|
|
|||
График четной функции симметричен относительно оси Oy , график нечетной – |
|
||||||||
относительно начала координат. |
|
|
|
|
|
|
|||
Периодичность.
О п р е д е л е н и е . Функция y = f ( x) называется периодичной, если существует такое
число T , T ¹ 0 , что для любого значения x , взятого из области определения, значения x + T и x − T также принадлежат области определения и выполняется равенство:
f ( x) = f ( x + T ) .
Число T называется периодом функции.
П р и м е р : y = cos x - периодичная функция с периодом 2π .
T = 2π
Нули функции. |
Нулем функции называется такое число x , при котором f ( x) = |
|
|||||||
О п р е д е л е н и е . |
0 . |
||||||||
П р и м е р : y = |
x3 - 4x - имеет нули в точках x1 = 0, x2 |
= - 2, |
x3 |
= 2 . |
|
||||
Монотонность (возрастание, убывание функции). |
|
|
|
|
|||||
О п р е д е л е н и е . |
Функция |
y = |
f ( x) |
называется монотонно |
неубывающей |
на |
|||
интервале |
(a, b) , |
если из того, |
что |
x2 > x1 следуют, |
что |
f ( x2 ) ³ f ( x1 ) . Если |
|||
f ( x2 ) > f ( x1 ) , то возрастающей. |
|
|
|
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е . |
Функция |
y = |
f ( x) |
называется монотонно не возрастающей на |
|||||
интервале |
(a, b) , |
если из того, |
что |
x2 > x1 следуют, |
что |
f ( x2 ) £ f ( x1 ) . Если, |
|||
f ( x2 ) < f ( x1 ) то убывающей.
Достаточное условие монотонности функции на интервале.
Если f ′( x) > 0 для всех x из интервала (a, b) , то f ( x) - монотонно возрастает на нем. Если f ′( x) < 0 для всех x из интервала (a, b) , то f ( x) - убывает на нем.
Если f ′( x) = 0 для всех x из интервала (a, b) , то f ( x) = const на нем. П р и м е р ы :
1. y = 2x - монотонно возрастает.
y
y = 2 x |
y = log 1 |
x |
|
2 |
|
x |
|
x |
2.
4. y = 1 (постоянна) монотонная
y
y = 1
x
Экстремумы функции в точке |
|
|
О п р е д е л е н и е . |
Точка x0 называется |
точкой строгого локального максимума |
(минимума) функции |
f ( x) , если для всех |
x из некоторой δ -окрестности точки x0 |
выполняется неравенство f ( x) < f ( x0 ) (или |
f ( x) > f ( x0 ) ) при x ¹ x0 . |
|
Токи локального максимума и локального минимума функции называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума.
Если функция f ( x) в точке x0 достигает экстремума, то производная f ′( x) либо равна
0, либо не существует. Точки в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.
Достаточное условие экстремума.
Пусть функция y = f ( x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки x0 ,
включая саму эту точку, и производная |
f ′( x) существует в окрестности этой точки, за |
|||
исключением, быть может, самой точки |
|
x0 . Тогда если при переходе через точку x0 |
||
f ′( x) меняет знак с «+» на «—», то x0 - точка максимум, если с «—» на «+», то x0 |
- |
|||
точка минимум. |
|
|
|
|
П р и м е р . Найти точки экстремума следующей функции: y = 3x4 - 4x3 - 12x2 + |
2 |
|||
. |
|
|
|
|
y¢ = 12x3 - 12x2 - 24x ; |
|
|||
|
y′ = 0 . |
|
||
12x(x2 - x - 2)= 0 |
|
|||
x1 |
= |
0 ü |
|
|
x2 = |
2 |
ï |
|
|
ý — точки возможного экстремума. |
|
|||
x3 = |
- |
ï |
|
|
1þ |
|
|||
Знак |
— |
+ |
— |
+ |
Поведение |
− 1 |
0 |
|
2 |
Точка x = − 1 — точка минимума; x = 0 — точка максимума;
52
x = 2 — точка минимума.
О т в е т : Точки x = − 1, x = 2 - точки минимума, x = 0 - точка максимума.
Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба.
Говорят, что функция y = f ( x) выпукла вверх, в точке x0 , если существует окрестность точки x0 такая, что для всех x из этой окрестности касательная к графику функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) лежит не ниже графика.
y 
M 0
x |
0 |
x |
|
M 0 |
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
x0 |
x |
|
Говорят, что функция y = |
f ( x) |
выпукла вниз, в точке x0 , если существует окрестность |
|
точки x0 такая, что для всех x |
из этой окрестности касательная к графику функции в |
||
точке M 0 ( x0 , y0 ) лежит не выше графика. |
|||
Если на интервале (a, b) |
все касательные к графику функции лежат не ниже (не выше) |
||
самого графика, то функция выпукла вверх (вниз) на всем интервале. |
|||
О п р е д е л е н и е . |
Точка M 0 ( x0 , y0 ) графика называется точкой перегиба графика |
||
функции, если существует такая окрестность точки x0 , в пределах которой слева и справа от x0 график имеет разные направления выпуклости.
y
M 0 |
y = f ( x) |
|
|
|
|
|
|
x0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
- точка перегиба графика функции. |
|||
Достаточное условие выпуклости. |
|
|
|
|
|
||
Если вторая производная f ′′( x) |
существует |
на |
интервале |
(a, b) и |
f ′′( x) > 0 , |
то |
|
функция вогнута на |
интервале |
(a, b) , если |
f ′ ′( x) < 0 , то |
функция |
выпукла |
на |
|
интервале (a, b) . (правило «дождя»).
Это правило символически означает, что если кривая выпукла, то капли дождя стекают с нее (-), если вогнута, то дождь заполняет ее (+).
Достаточный признак существования точек перегиба.
53