5. Цепные дроби

число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m0 и m1 удовлетворяет неравенству k 6 5t.

3.141. Фибоначчиевы коэффициенты.

Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов Fnk, определяемых равенством

а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии Fnk = Fnk−k.

б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент Fnk через Fnk−−11 и Fnk−1 (аналогичную равенству б) из задачи 2.77).

в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.

3.142*. Обобщенные биномиальные коэффициенты. Пусть

A1, A2, . . . — последовательность ненулевых целых чисел, такая, что

(Am, An) = A(m,n) (m, n > 1).

Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты

являются целыми числами. (См. также 8.89.)

5. Цепные дроби

Определение. Пусть a0 — целое, a1, a2, . . . , an — натуральные и an > 1. n-членной цепной (непрерывной) дробью называется выражение

42 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики

(обозначается [a0; a1, a2, . . . , an]).

Числа a1, a2, . . . , an называются неполными частными дроби (3.1).

дробь с алгоритмом Евклида?

3.146. Геометрическая интерпретация алгоритма Евклида.

Работу алгоритма Евклида (см. раздел 2) можно представить следующим образом. В прямоугольник размерами m0 × m1 (m1 6 m0) укладываем a0 квадратов размера m1 × m1, в оставшийся прямоугольник размерами m1 × m2 (m2 6 m1) укладываем a1 квадратов размера m2 × m2, и т. д. до тех пор, пока весь прямоугольник не покроется квадратами. (См. также 3.157.)

Выразите общее число квадратов через элементы цепной дроби числа m1/m2.

3.147. Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов.

3.148. Цепные дроби и электрические цепи. Для данного рационального числа a/b постройте электрическую цепь из единичных сопротивлений, общее сопротивление которой равнялось бы a/b. Как такую цепь можно получить при помощи разбиения прямоугольника a × b на квадраты из задачи 3.146?

3.149. Пусть a0 — целое, a1, . . . , an — натуральные числа. Определим две последовательности

Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, . . . , n обладают следующими свойствами:

а) Pk = [a0; a1, a2, . . . , ak];

Qk

б) PkQk−1 − Pk−1Qk = (−1)k+1;

в) (Pk, Qk) = 1.

Определение. Рациональные дроби

Pk = [a0; a1, a2, . . . , ak] (k = 0, 1, . . . , n)

Qk

называются подходящими дробями к непрерывной дроби (3.1).

3.150. Докажите следующие свойства подходящих дробей:

3.151. Пусть числа a и b определены равенством ab = [a0; a1, a2, . . .

. . . , an]. Докажите, что уравнение ax − by = 1 c неизвестными x и y имеет решением одну из пар (Qn−1, Pn−1) или (−Qn−1, −Pn−1). Отчего зависит, какая именно из пар является решением?

3.152. Разлагая число a/b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения ax − by = 1, если

a) a = 101, b = 13; б) a = 79, b = 19.

3.153. Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит

365 дней, високосный — 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996-й и 2000-й годы — високосные, а 1997-й и 1900-й — нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII.

До сих пор мы имели ввиду «гражданский год», число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что «григорианский год» полностью согласован с астрономическим годом, найдите продолжительность астрономического года. (См. также 12.7.)

Определение. Бесконечной непрерывной дробью называется выражение вида

an + ...

где a0 — целое, a1, a2, . . . , an, . . . — натуральные числа.

Величиной бесконечной непрерывной дроби называется предел ее подходящих дробей, то есть такое число α, что

α = lim Pn ,

n→∞ Qn

где Pn = [a0; a1, a2, . . . , an].

Qn

3.154. Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление

α = [a0; a1, . . . , an−1, αn],

где a0 — целое, a1, a2, . . . , an−1 — натуральные, αn > 1 — иррациональное действительное числа. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.

3.155. Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби

[a0; a1, . . . , an, . . . ]

существует предел ее подходящих дробей — иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма предыдущей задачи, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между иррациональными числами и бесконечными цепными дробями. Поэтому в дальнейшем будем отождествлять цепную дробь с ее числовым значением.

3.156. Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью

α = [a0; a1, . . . , an, . . . ].

Докажите, что

3.157. Последовательности {ak} и {bk} строятся по следующему закону:

3.158. Юлианский календарь. Из астрономии известно, что год имеет 365,2420 . . . = [365; 4, 7, 1, 3, . . . ] так называемых «календарных суток». В Юлианском стиле каждый четвертый год — високосный, то есть состоит из 366 дней. За сколько лет при таком календаре накапливается ошибка в одни сутки? На сколько дней отстает Юлианский календарь за 1000 лет? И вообще, почему он отстает, если юлианский год длиннее астрономического?

3.159. Персидский календарь. Наиболее точный календарь ввел в Персии в 1079 году персидский астроном, математик и поэт Омар Альхайями. Восстановите этот календарный стиль, рассмотрев третью подходящую дробь [365; 4, 7, 1] к длительности астрономического года. За сколько лет в этом календаре накапливается ошибка в одни сутки?

Определение. Бесконечная непрерывная дробь вида

[a0; a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+T , ak+1, . . . , ak+T , . . . ] = = [a0; a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+T ]

называется периодической с периодом ak+1, . . . , ak+T . Набор a0, a1, . . .

. . . , ak называется предпериодом.

Бесконечная непрерывная дробь вида [ a0; a1, . . . , aT−1 ] называется

чисто периодической.

3.160. Вычислите следующие цепные дроби:

3.162. Формат A4. Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что

√2 < mn < 297210.

3.163. Числа из электрической розетки. Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что

√

(См. [185].)

Определение. Число называется квадратичной иррациональностью, если оно является иррациональным корнем некоторого квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

√

Если α = b + c d — квадратичная иррациональность, то число α0 =

√

= b − c d называется сопряженным к числу α.

3.164. Докажите, что значение любой периодической цепной дроби — квадратичная иррациональность.

Верно более сильное утверждение.

Теорема Лагранжа. Число разлагается в периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью. (См. [5], [28].)

3.165. Найдите рациональное число, которое отличается от α не

то qp — подходящая дробь к числу α.

3.168. Теорема Валена. Докажите, что если pn/qn (n > 1) — подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств

Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдется бесконечно много дробей p/q таких, что

3.169*. Докажите, что для любых целых чисел p и q (q 6= 0), справедливо неравенство

3.170. Докажите, что при k > 1 выполняется равенство:

aFk+2 − 1 = [aFk ; aFk−1 , . . . , aF0 ], aFk+1 − 1

где {Fk} — последовательность чисел Фибоначчи.

3.171. Докажите, что положительный корень квадратного уравнения bx2 − abx − a = 0, где a и b — натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2. Верно ли обратное утверждение?

3.172. Докажите, что если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет корень x = [ a; b], то вторым корнем служит число

− 1 .

[ a; b]

3.173. Докажите, что если положительная квадратичная ирра-

√

ную дробь, то сопряженная ей квадратичная иррациональность α0 =

√

= A − D принадлежит интервалу (−1; 0).

B

3.174. Докажите, что если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет корень x = [a; b, c], то вторым корнем будет число a − [ c, b].