11.57. Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями (n > 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 4an+1 − 5an; б) a0 = 1, a1 = 2, an+2 = 2an+1 − 2an; в) a0 = 1, a1 = 2, an+2 + an+1 + an = 0; г) a0 = 1, a1 = 8, an+2 = 6an+1 + 25an.

11.58. Каким рекуррентным соотношениям вида (11.4) удовлетво-

3. Производящие функции

Определение. Выражения вида

называются формальными степенными рядами.

Формальные степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать, делить, дифференцировать и устраивать их композицию, не беспокоясь о сходимости.

Определение. Производной формального степенного ряда (11.5) называется ряд

F0(x) = a1 + 2a2x . . . + nanxn−1 + . . .

11.60. Найдите произведения следующих формальных степенных рядов:

а) (1 + x + x2 + x3 + . . . )(1 − x + x2 − x3 + . . . ); б) (1 + x + x2 + x3 + . . . )2;

11.61.Обращение степенного ряда. Докажите, что если a0 6= 0, то для ряда F(x) существует ряд F−1(x) = b0 + b1x + . . . + bnxn + . . .

такой, что F(x)F−1(x) = 1.

11.62.Вычислите:

а) (1 + x)−1; б) (1 − x)−1; в) (1 − x)−2.

Определение. Пусть {an} = a0, a1, . . . — произвольная числовая последовательность. Формальный степенной ряд

F(x) = a0 + a1x + . . . + anxn + . . .

будем называть производящей функцией этой последовательности.

11.63. Пусть F(x) — производящая функция последовательности {an}.

F(n)(x)

Докажите равенство an = .

n! x=0

11.630. Докажите, что для нечётных p выполняется равенство

11.64. Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а) an = n; б) an = n2; в) an = Cnm. 11.65. Вычислите суммы:

а) C1n + 2C2n + 3C3n + . . . + nCnn; б) C1n + 22C2n + 32C3n + . . . + n2Cnn.

11.66. Пусть an — число решений уравнения

в целых неотрицательных числах и F(x) — производящая функция последовательности an. Докажите равенства:

а) F(x) = (1 + x + x2 + . . . )k; б) F(x) = (1 − x)−k.

11.67. Пусть, как и раньше, an — число решений уравнения (11.6) в целых неотрицательных числах. Найдите формулу для an, пользуясь задачей 11.63. (См. также 2.70.)

11.68. Докажите тождество:

(1 + x + x2 + . . . + x9)(1 + x10 + x20 + . . . + x90)× ×(1 + x100 + x200 + . . . + x900) . . . = 1 −1 x.

(См. также 1.2.)

11.69. Бином Ньютона для отрицательных показателей.

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства

P∞

а) Ck−n = (−1)kCkn+k−1; б) (1 + x)−n = Ck−nxk. k=0

11.76. Докажите, что бесконечная сумма

0,1 + 0,01 + 0,002 + 0,0003 + 0,00005 + 0,000008 + 0,0000013 + . . .

сходится к рациональному числу.

11.77. Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка

L(z) = L0 + L1z + L2z2 + . . . + Lnzn + . . . .

Пользуясь этой функцией, выразите Ln в замкнутой форме через ϕ и ϕb. (См. также 3.135.)

11.78. Вычислите суммы

а) P∞ F2nn ; б) P∞ L2nn .

n=0 n=0

11.79. Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка. Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи

F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z2 + . . . + Fn(x)zn + . . .

и последовательности многочленов Люка

L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z2 + . . . + Ln(x)zn + . . .

11.80. Производящие функции многочленов Чебышёва. Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышёва первого и второго рода (см. 7.38):

11.81. Вычислите, используя производящие функции, следующие

11.810. Найдите произвольную функцию линейной рекуррентной последовательности второго порядка (11.2) с начальными членами a0 и a1.

Определение. Разбиением называется представление натурального числа в виде суммы натуральных слагаемых. Порядок слагаемых

считается несущественным. Например, разбиения 3 = 1 + 2 и 3 = 2 + 1 не различаются.

11.82. Пусть p(n) — количество разбиений числа n. Докажите равенства:

p(0) + p(1)x + p(2)x2 . . . = (1 + x + x2 + . . . ) . . . (1 + xk + x2k + . . . ) . . . =

= (1 − x)−1(1 − x2)−1(1 − x3)−1 . . .

(По определению считается, что p(0) = 1.)

11.83. На доске написано n натуральных чисел. Пусть ak — количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные ak. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел. Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка

(5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).

11.84. Докажите, что каждое целое положительное число n может быть 2n−1 − 1 различными способами представлено в виде суммы меньших целых положительных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными. Например, лишь 24−1 − 1 = 7 следующих сумм имеют значение 4:

1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2, 1 + 3, 3 + 1.

11.85. Каждое положительное число n можно представить в виде суммы различных слагаемых, причем это можно сделать столькими же способами, сколькими способами это же число представимо в виде суммы различных слагаемых. Например, все возможные представления числа 6 посредством различных слагаемых будут:

6, 1 + 5, 2 + 4, 1 + 2 + 3,

посредством нечетных:

1 + 5, 3 + 3, 1 + 1 + 1 + 3, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Для доказательства этого факта обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) — на нечетные. Установите равенства:

а) d(0) + d(1)x + d(2)x2 + . . . = (1 + x)(1 + x2)(1 + x3) . . . ;

б) l(0) + l(1)x + l(2)x2 + . . . = (1 − x)−1(1 − x3)−1(1 − x5)−1 . . . ; в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, . . . ).

(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)