9.95. Нет. Если x и y— два вектора решений, то решением будет и вектор λx + (1 − λ)y при любом действительном λ.

9.97. Первый игрок всегда может добиться того, чтобы решением системы был вектор (1, 1, 1).

Глава 10

10.1. Поделите неравенство (x − 1)2 > 0 на x. 10.2. Возведите неравенство в квадрат.

10.3. Воспользуйтесь два раза неравенством задачи 10.2.

10.4. Возведите неравенство в квадрат и воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.5. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.6. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.7. Раскройте скобки в неравенстве (x− y)2 + (y− z)2 + (x− z)2 > 0. 10.8. Воспользуйтесь неравенством предыдущей задачи.

10.9. Сложите неравенства (x1/2)2 + x22 > x1x2, . . . , (x1/2)2 + x25 > > x1x5.

10.11. После упрощений воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.12. После раскрытия скобок получается неравенство задачи 10.7. 10.13. Примените два раза неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: сначала к числам, а потом к их

показателям.

10.14. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 = 0.

10.15. Число 1 + xy всегда положительно. После домножения на это число, неравенство может быть записано в виде (1 ± x)(1 ± y) > 0.

10.16. Сначала докажите неравенство для рациональных α и β.

10.17. Воспользуйтесь неравенством a2(b−c)2+b2(a−c)2+c2(a−b)2 > 0. 10.18. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между сред-

ним арифметическим и средним геометрическим.

10.21. После извлечения квадратного корня задача сводится к неравенству (√x − √y)4 > 0.

10.22. Воспользуйтесь неравенством a(b−c)2+b(a−c)2+c(a−b)2 > 0. 10.23. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между сред-

ним арифметическим и средним геометрическим. 10.24. Воспользуйтесь неравенством

(1 + a4)(1 − b2)2 + (1 + b4)(1 − a2)2 > 0.

10.25. Воспользуйтесь неравенствами из задач 10.7 и 10.17. 10.27. Докажите сначала неравенство a3 + b3 > a2b + ab2. 10.29. Смотрите задачу 10.22.

10.30. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.31. После домножения на общий знаменатель и сокращений задача сводится к неравенству из задачи 10.27.

10.32. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним гармоническим (задача 10.11).

10.37. Докажите неравенство по индукции.

10.41. Всегда можно подобрать натуральные x и y так, чтобы выполнялись равенства

После замены α = a1/x, β = b1/y исходное неравенство принимает вид

xαx+y + yβx+y > αxβy.

x + y

Для его доказательства достаточно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

10.46. Если m, n, k > 2, то m(nk) > (mn)k.

б) Разбейте сумму на блоки по 2k слагаемых (0 6 k 6 n). в) Сравните произведение из условия задачи с произведениями

г) Оцените отдельно произведение

78 · 109 . . . 10099 .

α1f(x1) + α2f(x2) < α1l(x1) + α2l(x2) = l(α1x1 + α2x2) = f(α1x1 + α2x2).

10.56. Применим индукцию. При n = 2 неравенство Иенсена было доказано в задаче 10.55. Предположим, что оно верно для некоторого n > 2 и докажем его при n + 1. Пусть β = α1 + . . . + αn > 0. Тогда

αβ1 + . . . + αβn = 1. Используя неравенство с n = 2, находим

f(α1x1 + . . . + αn+1xn+1) = f β αβ1 x1 + . . . + αβn xn + αn+1xn+1 > > αn+1f(xn+1) + βf αβ1 x1 + . . . + αβn xn .

Далее, по предположению индукции,

f αβ1 x1 + . . . + αβn xn > αβ1 f(x1) + . . . + αβn f(xn).

Следовательно

f(α1x1 + . . . + αn+1xn+1) > α1f(x1) + . . . + αn+1f(xn+1).

10.58. Воспользуйтесь неравенством Иенсена для следующих функ-

√

ций: а) f(x) = x; б) f(x) = 1/x2; в) f(x) = enx; г) f(x) = 1/x. 10.60. Применяя неравенство Иенсена к функции y = xp, получаем

(α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn)p 6 α1xp1 + α2xp2 + . . . + αnxpn.

После замены

приходим к неравенству

(β1x1 + β2x2 + . . . + βnxn)p 6 (β1 + . . . + βn)p−1(β1xp1 + . . . + βnxpn)

или

β1x1 + β2x2 + . . . + βnxn 6 (β1 + . . . + βn)1/q(β1xp1 + . . . + βnxpn)1/p.

232 Ответы, указания, решения

Для получения нужного неравенства остается сделать подстановку

βk = bqk, xk = akb1k−q (k = 1, 2, . . . , n).

10.63. Для доказательства неравенств достаточно рассмотреть функцию f(x) = eαx и точки ln x1, . . . , ln xn.

Для подсчета пределов воспользуемся приближенной формулой для функции ex, которая верна на отрезке x [−1; 1]:

ex = 1 + x + θx2 (|θ| < 1).

При достаточно малом α получим

10.72. Рассмотрите несколько случаев: x = y = z = t; x = y = t, z = 1; x = t, y = z = 1 и сравните степени полученных полиномов от t.

10.73. Очевидно, что достаточно доказать неравенство в случае, когда набор β получается из набора α сбрасыванием одного «кирпича» на диаграмме Юнга. Проведем доказательство для случая, когда делается переход от α = (α1, α2, α3, . . . , αn) к β = (α1 − 1, α2 + 1, α3, . . . , αn),

неравенства Tα(x1, . . . , xn) > Tβ(x1, . . . , xn) сгруппируем все одночлены, входящие в данное неравенство парами:

знак, что и xi1 − xi2 .