Глава 11
Последовательности и ряды
1. Конечные разности
Определение. Пусть задана последовательность чисел
{bn} = b1, b2, . . . , bn, . . .
Будем обозначать {Δbn} последовательность, состоящую из разностей соседних членов последовательности {bn}:
Δbn = bn+1 − bn (n = 1, 2, . . . ).
(Считается, что b0 = 0.) |
называется разностным оператором ) или |
оператором конечной разности. |
|
11.1. Найдите |
|
а) Δn2; б) Δn(n − 1); |
в) Δnk; г) ΔCnk . |
11.2. Пусть даны последовательности чисел {an} и {bn}, связанные соотношением Δbn = an, (n = 1, 2, . . . ). Как связаны частичные суммы Sn последовательности {an}
Sn = a1 + a2 + . . . + an
споследовательностью {bn}?
11.3.Найдите последовательность {an} такую, что Δan = n2. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы
12 + 22 + 32 + . . . + n2.
11.4.Выведите формулу для суммы 13 + 23 + 33 + . . . + n3.
11.5.Докажите тождество
n
|
1 |
= 3 − |
F2n−1 |
(n > 1). |
|
|
|
||
k=0 |
F2k |
|
F2n |
|
X |
|
|
|
|
)Оператор — это отображение, действующее на множестве функций, последовательностей или других отображений.
152 |
11. Последовательности и ряды |
Определение. Для функции f(x) выражение f(x + 1) − f(x) будем обозначать Δf(x) и называть конечной разностью первого порядка. Конечные разности более высокого порядка определяются индуктивно:
nf(x) = ( n−1f(x)) (n > 1)
(считается, что 0f(x) = f(x)).
11.6.Докажите, что если Q(x) — многочлен степени m + 1, то P(x) = ΔQ(x) — многочлен степени m.
11.7.Докажите, что для любого многочлена P(n) степени m существует единственный многочлен Q(n) степени m + 1 такой, что выполнены два условия: ΔQ(n) = P(n) и Q(0) = 0.
11.8.Докажите формулу
Xn
nf(x) = Ckn(−1)n−kf(x + k).
k=0
11.9. Докажите равенство
Xn
f(x + n) = Ck kf(x). |
|
n |
|
k=0 |
|
11.10. Пусть f(x) — многочлен степени |
m. Докажите, что если |
m < n, то nf(x) = 0. Чему равна величина |
mf(x) = 0? |
11.11. Вычислите сумму
Xn Ckn(−1)k 1 − nk n . k=0
11.12. Докажите, что для всех m в промежутке 1 6 m < n выпол-
няется равенство:
Xn
(−1)kkmCkn = 0.
k=1
(См. также 6.105.)
11.13*. Пусть числа y0, y1, . . . , yn таковы, что для любого многочлена f(x) степени m < n справедливо равенство:
Xn
f(k)yk = 0. |
(11.1) |
k=0
Докажите, что yk = λ(−1)kCkn, где λ — некоторое фиксированное число.
1. Конечные разности |
153 |
11.14. Докажите следующие свойства оператора конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования:
а) |
1 |
= − |
Δbn |
; б) |
|
an |
= |
bnΔan − anΔbn |
. |
bn |
bnbn+1 |
bn |
bnbn+1 |
||||||
11.15. Найдите представление для |
(an ·bn) через Δan и Δbn. Срав- |
||||||||
ните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.
11.150. Разностный аналог формулы Лейбница. Для n-ой производной произведения двух функций существует формула Лейбница
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
n |
|
|
f(x)g(x) |
|
(n) = |
Ck f(k)(x)g(n−k)(x). |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
k=0 |
|
|
Докажите её разностный аналог |
|
|
|||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n f(x)g(x) = |
Cnk kf(x) (n−k)g(x). |
( ) |
|||
|
|
|
k=0 |
|
|
11.16. Экспонентой y = ex называется такая функция, для которой выполнены условия y0(x) = y(x) и y(0) = 1. Какая последовательность {an} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор ?
11.17. Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:
X |
X |
X |
Xz |
n−1 |
n−1 |
n−1 |
x |
f(x)g(x) = f(n) |
g(x) − |
Δf(x) g(z), |
|
x=0 |
x=0 |
x=0 |
=0 |
X |
|
|
X |
n−1 |
|
|
n−1 |
f(x)Δg(x) = f(n)g(n) − f(0)g(0) − |
g(x + 1)Δf(x). |
||
x=0 |
|
|
x=0 |
11.18. Найдите последовательность {a } такую, что Δa = n2n.
Z n n
(Вспомните как вычисляют xex dx.)
11.19. Найдите:
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Последовательности и ряды |
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
n |
4k + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) k=1 |
|
|
; |
|
д) |
|
|
; |
||
k(k + 1) |
k=1 k(k + 1)(4k2 − 1) |
|||||||||
|
P |
1 |
|
|
|
P |
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
б) |
P |
1 |
; |
|
|
е) |
P k − 1 |
; |
|
|
|
k=2 k2 − 1 |
|
|
k=1 k! |
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
в) |
|
|
|
; ж) |
|
k! k. |
|
|
||
k=1 |
k(k + 1)(k + 2) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
||
|
kP |
|
|
k |
|
P |
|
|
||
|
n |
(k − 1) 2 |
|
|
|
|||||
г) |
P |
|
; |
|
|
|
||||
|
=1 |
k(k + 1) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.20. При помощи преобразования Абеля вычислите следующие
суммы: |
|
kP |
P |
n |
P |
|
|||
n |
k2qk−1; б) |
n |
n |
k2 cos kx. |
а) |
k sin kx; в) |
|
||
k=1 |
|
=1 |
k=1 |
|
Определение. В дальнейшем под символом Cx будем понимать многочлен
Cn = |
x(x − 1) . . . (x − n + 1) |
, |
x |
n! |
|
|
|
определенный для всех действительных x. При целых x > n его значения будут совпадать с обычными биномиальными коэффициентами.
11.21. Интерполяционная формула Ньютона. а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде
f(x) = d0C0x + d1C1x + . . . + dnCnx .
Здесь и далее биномиальный коэффициент Ckx интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом. (См. также 6.79.)
б) Докажите, что коэффициенты d0, d1, . . . , dn в этом представлении вычисляются по формуле dk = kf(0) (0 6 k 6 n).
11.22. Целозначные многочлены. Пусть многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, . . . , n. Докажите, что
f(x) = d0C0x + d1C1x + . . . + dnCnx ,
где d0, d1, . . . , dn — некоторые целые числа.
11.23. Для многочлена f(x) = x3 − x найдите 2f(x). Объясните, не применяя соображения делимости, почему f(x) . 6 при всех целых x.
11.24. Докажите, что многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, . . . , n, то он принимает целые значения для любого целого x.