11.25. а) Пусть q — натуральное число и функция

f(x) = cqx + anxn + . . . + a1x + a0

принимает целые значения при x = 0, 1, 2, . . . , n + 1. Докажите, что при любом целом x > 0 число f(x) также будет целым.

б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое m > 1 при x = 0, 1, 2, . . . , n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех целых x > 0.

11.26.Докажите, что при всех натуральных n число f(n) = 22n−1 −

−9n2 + 21n − 14 делится на 27.

11.27*. Для каких натуральных n в выражении

±12 ± 22 ± 32 ± . . . ± n2

можно так расставить знаки + и −, что в результате получится 0? Определение. Пусть функция f(x, y) задана во всех точках плоско-

сти с целыми координатами. Назовем функцию f(x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть

f(x, y) = 14(f(x + 1, y) + f(x − 1, y) + f(x, y + 1) + f(x, y − 1)).

11.28.Пусть f(x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af(x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

11.29.Пусть f(x, y) — гармоническая функция. Докажите, что

функции xf(x, y) = f(x+1, y)−f(x, y) и yf(x, y) = f(x, y+1)−f(x, y)

также будут гармоническими.

11.30*. Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f(x, y) — ограниченная гармоническая функция, то есть существует положительная константа M такая, что

(x, y) Z2 |f(x, y)| 6 M.

Докажите, что функция f(x, y) равна константе.

2. Рекуррентные последовательности

Определение. Последовательность чисел a0, a1, . . . , an, . . . , которая удовлетворяет с заданными p и q соотношению

156 11. Последовательности и ряды

называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка.

называется характеристическим уравнением последовательности {an}.

11.31.Докажите, что если числа a0, a1 фиксированы, то все остальные члены последовательности {an} определяются однозначно.

11.32.Докажите, что геометрическая прогрессия {an} = bxn0 удовлетворяет соотношению (11.2) тогда и только тогда, когда x0 — корень характеристического уравнения (11.3) последовательности {an}.

11.33.Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {an} имеет два различных корня x1 и x2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что

an = c1xn1 + c2xn2 (n > 0).

11.34. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {an} имеет корень x0 кратности 2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что

an = (c1 + c2n)xn0 (n > 0).

11.35. Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями (n > 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 5an+1 − 6an; б) a0 = 1, a1 = 1, an+2 = 3an+1 − 2an; в) a0 = 1, a1 = 1, an+2 = an+1 + an; г) a0 = 1, a1 = 2, an+2 = 2an+1 − an;

д) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 2an+1 + an.

√

√

а) Выразите через an и bn число (1 − 2)n. б) Докажите равенство a2n − 2b2n = 1.

в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {an} и {bn}?

г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {an} и {bn}.

д) Найдите связь между числами a , b и подходящими дробями к

√ n n

числу 2.

11.37. Рассмотрим равенства:

√ √ √

2 + 3 = 4 + 3,

√ √ √

(2 + 3)2 = 49 + 48,

√ √ √

(2 + 3)3 = 676 + 675,

√ √ √

(2 + 3)4 = 9409 + 9408.

Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки.

не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.

11.39.Найдите все целочисленные решения уравнения a2n − 3b2n = 1.

11.40.Докажите, что произвольная последовательность Qn, заданная условиями

Q0 = α, Q1 = β, Qn+2 = Qn+1 + Qn (n > 0),

может быть выражена через числа Фибоначчи Fn и числа Люка Ln.

Определение. Многочлены Фибоначчи Fn(x) (n > 0) задаются при помощи начальных условий F0(x) = 0, F1(x) = 1 и рекуррентного соотношения

Fn+1(x) = x Fn(x) + Fn−1(x) (n > 1).

Аналогично, многочлены Люка Ln(x) определяются равенствами

L0(x) = 2, L1(x) = x, Ln+1(x) = x Ln(x) + Ln−1(x) (n > 1).

11.41. Многочлены Фибоначчи и Люка. Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка. Какие значения эти многочлены принимают при x = 1?

Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями (см. также 3.133):

158 11. Последовательности и ряды

а) Ln(x) = Fn−1(x) + Fn+1(x) (n > 1);

б) Fn(x) (x2 + 4) = Ln−1(x) + Ln+1(x) (n > 1);

г) Ln(x) + Ln+1(x) = F2n+1(x)(x + 4) (n > 0); д) Fn+2(x) + Fn−2(x) = (x2 + 2)Fn(x) (n > 2).

11.42.Разложите функции Fn+1(x)/Fn(x) и Ln+1(x)/Ln(x) (n > 1) в цепные дроби, (См. также 3.144.)

11.43.Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка аналогичную формуле Бине. (См. также 3.126 и 11.75.)

11.44.Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами

11.45.Укажите явный вид коэффициентов в многочленах Fn(x)

иLn(x). Решите задачи 3.129 и 3.130 используя многочлены Фибоначчи.

11.46.Лягушка-путешественница. Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

11.47.Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.

а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков? б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?

в) Лягушка-сапер. Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет прыгать через n секунд? Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

11.48.Докажите, что для любого числа p>2 найдется такое число β,

что

s

r

q

2 + 2 + . . . + 2 + p2 + p = β2n − β−2n .

| {z }

nрадикалов

11.49.Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-м году роста первоначального растения?

11.50.Найдите у чисел

11.51. Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравне-

√

ние [(1 + 2)n] ≡ n (mod 2).

11.52.Докажите, что последовательность an = 1 + 17n2 (n > 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

11.53.Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи усло-

вий:

xn = xn−1 + 2yn−1 sin2 α, yn = yn−1 + 2xn−1 cos2 α, x0 = 0, y0 = cos α.

Найдите выражение для xn и yn через n и α.

11.54. Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Определение. Последовательность чисел a0, a1, . . . , an, . . . , которая при заданных b0, . . . , bk−1 удовлетворяет соотношениям

называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью k-го порядка.

Уравнение

xk − bk−1xk−1 − . . . − b0 = 0

называется характеристическим уравнением последовательности {an}.

11.55*. Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если

a) характеристическое уравнение имеет простые корни x1, . . . , xk; б) характеристическое уравнение имеет корни x1, . . . , xm с кратно-

стями α1, . . . , αm соответственно?

11.56. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x1,2 = a ± ib = re±iϕ. Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет выполняться равенство

an = rn(c1 cos nϕ + c2 sin nϕ).