146 10. Неравенства

в) неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим:

10.53. Используя результат предыдущей задачи, докажите неравенства:

10.54. Спортпрогноз. Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами A и B, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами k(A1), k(B1), k(A2), k(B2). Например, если игрок сделал ставку N в первой конторе на команду A, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму k(A1) · N. Пусть

k(A1) = 2, k(B1) = 32, k(A2) = 43, k(B2) = 3.

Как, имея капитал N, распорядиться им оптимальным образом, то есть как сделать ставки в двух конторах, чтобы получить максимальный

гарантированный выигрыш?

Проанализируйте случай произвольных коэффициентов k(A1), k(B1), k(A2), k(B2) и найдите связь между максимальным гарантированным выигрышем и средним гармоническим наибольших коэффициентов.

3. Выпуклость

Определение. Пусть — график дифференцируемой функции f(x), заданной на отрезке [a; b]:

= {(x, y) : x [a; b], y = f(x)}.

Функция f(x) называется выпуклой вверх, если для любой точки T кривая лежит ниже касательной к , проведенной в точке T. Аналогично определяется выпуклость вниз.

Достаточным условием выпуклости функции вниз (вверх) является положительность (отрицательность) второй производной.

10.55. Докажите, что если функция f(x) выпукла вверх на отрезке [a; b], то для любых различных точек x1, x2 из [a; b] и любых положительных α1, α2 таких, что α1 + α2 = 1 выполняется неравенство:

f(α1x1 + α2x2) > α1f(x1) + α2f(x2).

10.56.Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f(x) выпукла вверх на отрезке [a; b], то для любых различных точек

x1, x2, . . . , xn (n > 2) из [a; b] и любых положительных α1, α2, . . . , αn таких, что α1 + α2 + . . . + αn = 1, выполняется неравенство:

f(α1x1 + . . . + αnxn) > α1f(x1) + . . . + αnf(xn).

10.57. Докажите, что для любых x1, . . . , xn [0; π] справедливо неравенство:

sin x1 + . . . + xn > sin x1 + . . . + sin xn . n n

в) nx1 . . . xn 6 xn1 + . . . + xnn;

г) Неравенство Минковского.

(x1 + . . . + xn) 1 + . . . + 1 > n2. x1 xn

10.59.Докажите, что если x + y + z = 6, то x2 + y2 + z2 > 12.

10.60.Неравенство Гёльдера. Пусть p и q — положительные числа, причем 1/p + 1/q = 1. Докажите, что

a1b1 + a2b2 + . . . + anbn 6 (ap1 + ap2 + . . . + apn)1/p(aq1 + aq2 + . . . + aqn)1/q.

Определение. Для любого действительного α 6= 0 средним степенным чисел x1, . . . , xn порядка α называется число

xα + . . . + xα 1/α

Sα(x) = 1 n . n

Частными случаями средних степенных являются: среднее гармоническое (α = −1), среднее арифметическое (α = 1), среднее квадратическое

(α = 2). Средним степенным порядка 0 будем считать среднее геомет-

√

рическое S0(x) = n x1 . . . xn.

10.61. Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными:

S−1(x) 6 S0(x) 6 S1(x) 6 S2(x).

10.62. Докажите, что если α < β и αβ 6= 0, то Sα(x) 6 Sβ(x).

10.63*. Докажите, что если α < 0 < β, то

Sα(x) 6 S0(x) 6 Sβ(x),

причем

lim Sα(x) = lim Sβ(x) = S0(x).

α→−0 β→+0

10.64.Докажите, что если α < β, то Sα 6 Sβ, причем равенство возможно только когда x1 = x2 = . . . = xn.

4.Симметрические неравенства

10.65.Докажите неравенства:

а) x4 + y4 + z4 > x2yz + xy2z + xyz2; б) x3 + y3 + z3 > 3xyz;

в) x4 + y4 + z4 + t4 > 4xyzt; г) x5 + y5 > x3y2 + x2y3.

Определение. Пусть имеется несколько неотрицательных переменных — для определенности, три переменные x, y и z. Наборы из такого же количества целых неотрицательных чисел, α = (k, j, i), где k > j > i, будем называть показателями. Через Tα(x, y, z) = T(k,j,i)(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен

X

(суммирование ведется по всем наборам {a, b, c} в количестве 3! являющимися перестановками чисел {k, j, i}).

Например неравенства из задачи 10.65 можно переписать в виде: а) T(4,0,0)(x, y, z) > T(2,1,1)(x, y, z);

б) T(3,0,0)(x, y, z) > T(1,1,1)(x, y, z);

в) T(4,0,0,0)(x, y, z, t) > T(1,1,1,1)(x, y, z, t); г) T(5,0)(x, y) > T(3,2)(x, y).

10.66. Запишите через многочлены вида Tα неравенства а) x4y + y4x > x3y2 + x2y3;

б) x3yz + y3xz + z3xy > x2y2z + y2z2x + z2x2y.

Определение. Диаграммой Юнга, соответствующей показателям α = (α1, . . . , αn) называется «лестница» из n ступенек, у которой высота k-й ступеньки равна αk, а ширина — единице. Например

Число s = α1 + α2 + . . . + αn называется весом диаграммы Юнга.

10.67. Напишите многочлены Tα и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов α:

а) (3, 2); б) (3, 2, 1); в) (3, 3, 0, 0); г) (4, 1, 1, 0).

10.68. Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если а) s = 4; б) s = 5; в) s = 6; г) s = 7.

Определение. Пусть α = (α1, . . . , αn) и β = (β1, . . . , βn) — два набора показателей с равной суммой s = α1 + . . . + αn = β1 + . . . + βn. Будем говорить, что α мажорирует β (α β), если справедлива система неравенств:

α1 + . . . + αn = β1 + . . . + βn.

Вэтом случае будем также говорить, что диаграмма Юнга, соответ-

ствующая набору α, мажорирует диаграмму Юнга, соответствующую набору β.

Например, (4, 2, 1) (3, 2, 2), так как 4 > 3, 4 + 2 > 3 + 2, 4 + 2 + 1 =

=3 + 2 + 2.

10.69.Докажите, что α = (α1, α2, α3) β = (β1, β2, β3) тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может

быть один раз или ни одного) операцию

(k − 1, j + 1, i)

(k, j, i) −→ (k − 1, j, i + 1)

(k, j − 1, i + 1)

Эту операцию можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга.

10.70.Нарисуйте все лестницы из s = 4 кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой (4, 0, 0, 0), и заканчивая самой пологой

(1, 1, 1, 1).

10.71.а) Проверьте, что диаграммы Юнга (4, 1, 1) и (3, 3, 0) не сравнимы, — ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6?

б) Найдите все несравнимые пары наборов для s = 7.

10.72.Пусть Tα(x, y, z) > Tβ(x, y, z) для всех неотрицательных x, y, z. Докажите, что α β.

10.73*. Неравенство Мюрхеда. Пусть

α = (α1, . . . , αn) и β = (β1, . . . , βn)

— два набора показателей с равной суммой. Докажите, что, если α β, то при всех неотрицательных x1, . . . , xn выполняется неравенство

Tα(x1, . . . , xn) > Tβ(x1, . . . , xn).

10.74.Выведите из неравенства Мюрхеда неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Сколько «кирпичей» нужно свалить, чтобы от набора (n, 0, . . . , 0) из n чисел перейти к набору (1, 1, . . . , 1)?

10.75.Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда:

а) x4y2z+ y4x2z+ y4z2x+ z4y2x+ x4z2y+ z4x2y > 2(x3y2z2 + x2y3z2 +

+x2y2z3);

б) x5 + y5 + z5 > x2y2z + x2yz2 + xy2z2;

в) x3 + y3 + z3 + t3 > xyz + xyt + xzt + yxt.

10.76. Докажите неравенства из задачи 10.36 при помощи неравенства Мюрхеда. Как будут выглядеть диаграммы Юнга для соответствующих функций?