Матрицы
.doc§5. Матрицы
1о .Основные определения.
Пусть – коммутативное кольцо с единицей.
Определение 1. Матрицей размеров над кольцом называется прямоугольная таблица из элементов кольца и имеющая строк и столбцов:
где – номер строки, – номер столбца, − элементы матрицы, и − порядки матрицы. В этом случае говорят, рассматриваемая матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком.
Далее для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:
или .
Для краткого обозначения матрицы используется либо заглавная латинская буква , либо символы , , либо с разъяснением: .
Множество всех матриц размера обозначается .
Частные случаи матриц.
-
Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ называется главной диагональю, а – побочной диагональю.
-
Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. .
-
Диагональная матрица вида называется скалярной.
-
Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или , где – ее порядок.
-
Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается .
-
Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Если столбцовая = матрица-столбец = столбец.
Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
2о. Операции над матрицами и их свойства.
Определение 3. Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : .
Обозначение: .
Замечание. Сумма матриц – алгебраическая операция.
Пример.
.
Свойства (сложения матриц).
1) Коммутативность сложения, т.е., справедливо .
2) Ассоциативность сложения, т.е., справедливо .
3) .
4) . При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается .
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
Теорема 1. Множество относительно сложения образует абелеву группу.
Доказательство следует из свойств 1)–4).
Определение 4. Произведением элемента на матрицу называется матрица
Обозначение: .
Операция, сопоставляющая и их произведение называется умножением элемента кольца на матрицу.
Свойства (умножения матрицы на элемент кольца).
выполняется
1) .
2) .
3) .
4) .
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
Замечание. Разность двух прямоугольных матриц и определяется равенством .
Определение 5. Произведением матриц размера и размера называется матрица размеров такая, что каждый элемент .
Обозначение: .
Операция произведения на называется перемножением этих матриц.
Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в –ой строке и –ом столбце, равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на –ый столбец матрицы .
Примеры.
1) ,
2) .
Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае .
Свойства (умножения матриц).
1) Ассоциативность умножения матриц, т.е., справедливо .
Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования.
2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,
, .
, .
Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.
3) .
Доказательство. Пусть, и . Тогда . Здесь – символ Кронекера.
.
4) .
5) .
Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).
6) .
Теорема 2. Множество квадратных матриц порядка над кольцом относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.
Доказательство. Из теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из согласованы умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2) и 1). Свойство 3) демонстрирует наличие единицы.■
Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,
.
Но из свойств 4) и 5) умножение квадратной матрицы на и коммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.
3о. Блочные матрицы.
Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное). Здесь – номер блочной строки, – столбца.
Например, если
, то ,
, , .
Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : .
Для умножения на необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока равно числу строк блока . Тогда .
Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть . Если , то и , откуда следует, что
, что и требовалось доказать.
Пример. Пусть , , т.е.,
, ,
где
,
.
Тогда . Аналогично находятся остальные . В результате получаем
.
В качестве применения блочных матриц рассмотрим
Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : .
Обозначение: .
Свойства (прямой суммы).
1) .
2) .
3) .
4) .
Доказательство – самостоятельно.
§6. Группа перестановок. Знак перестановки.
1о. Знак перестановки.
Напомним, что если – множество из -элементов, , то перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение . Обозначение: – множество всех перестановок степени : .
Лемма 1. Число различных перестановок равно
Лемма 2. Множество перестановок образует группу относительно умножения . При этом тождественная перестановка − нейтральный элемент группы, симметричный элемент получается сменой строк. Группа − не коммутативная группа.
Отметим, что если в перестановке поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка.
Углубим проведенное ранее исследование.
Определение 1. Пусть – перестановка степени и пусть . Тогда пара называется инверсией относительно , если .
Перестановка называется четной, если число инверсий относительно четное, и перестановка называется нечетной, если число инверсий − нечетное.
Знак перестановки – это ,где – число инверсий.
Обозначение: .
Таким образом, если – четная, то , и если – нечетная, то .
Пример. . Возможные пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.
Теорема 1.
-
Знак единичной перестановки равен 1.
-
Если .
-
.
Доказательство.
1. В единичной перестановке инверсий нет; поэтому .
2. Пусть – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .
Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие
.
-
Пусть – множество инверсий относительно ,
– множество инверсий относительно ,
– множество инверсий относительно : .
Тогда надо доказать, что , т.е. – четное число – это надо доказать.
Пусть ,
,
,
.
Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:
Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .
Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄
Следствие: .
2о. Транспозиция как пример нечетной перестановки. Разложение перестановки в произведение транспозиций.
Обозначение: Пусть . -перестановкой будем называть перестановку, при которой
Определение 2: Перестановка вида называется транспозицией. Они имеют вид , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах.
Теорема 2: Транспозиция – нечетная перестановка.
Доказательство: Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где , пара , где , и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄
Замечание: Произведение вида означает, что в нижней строке надо поменять местами и .