§6. Линейные функции на линейном пространстве

1°. Определение функции. Линейные функции.

Определение 1. Будем говорить что, на линейном пространстве задана функция (от одного вектора), если поставлено в соответствие число. Будем говорить, что на задана функция двух векторов, если упорядоченной паре поставлено в соответствии число.

Обозначение:

Замечание 1. Функции на бесконечно мерных пространствах принято называть функционалами.

Замечание 2. Обычно под функцией понимают величину инвариантную, т.е. такую, что она не меняется при переходе от одного базиса к другому. А именно, если в базисе поставлено в соответствие первая координата, то это не функция, так как зависит от выбора базиса.

Если –мерное пространство, то функция некоторый базис, мы определяем координатами функция при фиксированном базисе задаётся как обычная функция и переменных. При переходе к другому базису она изменяется.

Определение 2. Функция , заданная на линейном пространстве , называется линейной, если

1.

2. ,

Примеры:

1°. , – линейная функция.

Если , то эта функция, не является линейной.

2°. Пусть E–мерное евклидово пространство, E – фиксированный элемент. Тогда – пример линейной функции.

Аналогично можно определить функционал в бесконечномерном евклидовом пространстве со скалярным произведением .

Пусть –мерное линейное пространство и – фиксированный базис может быть записан в базисе . Значение функции может быть записано в базисе:

.

Здесь числа не зависят от выбора , а определяются лишь базисом. Таким образом, доказано.

Лемма 1. Каждая линейная функция на –мерном линейном пространстве в произвольном базисе задаётся линейным, однородным многочленом

.

(1)

от компонент вектора по этому базису. Коэффициенты многочлена (1) есть значения функции на базисных векторах.

Часто вместо линейной функции говорят линейные формы!

Числа будем называть компонентами (коэффициентами) функции в базисе . Итак, .

Формулу (1) можно записать

.

Выясним, как меняются компоненты функции при переходе к новому базису. Пусть и связаны формулами перехода .

Тогда

,

(2)

То есть компоненты линейной функции преобразуются также как и базисные векторы.

Покажем, что такое преобразование компонентов линейной функции обеспечивает инвариантность её значений. Напомним, что если .

Тогда , т.е. численное значение функции при изменении базиса сохраняется.

2°. Сопряжённое пространство.

Пусть – линейное пространство (может быть бесконечномерное) и – множество всех линейных функций на . На множестве можем ввести операции сложения функции и умножения функции на число .

Теорема 1. Множество всех линейных функций, заданных на , представляет собой линейное пространство.

Доказательство: Покажем вначале, что сумма линейных функций есть линейная функция. Пусть

Теперь покажем, что если линейную функцию умножить на константу, то получится линейная функция. Действительно, если .

Очевидно, что нуль – это .

Функция – противоположная для .

Легко проверить для все аксиомы линейного пространства.

Определение 3. Линейное пространство всех линейных функций, определённых на L, называется сопряжённым пространством пространству .

Теорема 2. Если линейное пространство –мерно, то сопряжённое ему пространство также –мерно.

Доказательство: Введём в базис . Тогда имеет место

.

Тогда , справедливо

,

(3)

и любая функция однозначно определяется набором коэффициентов . Этот набор можно рассматривать как вектор из . Очевидно, что при сложении линейных функции и при умножении на число их коэффициенты также складываются или умножаются на число множество линейных функций изоморфно множеству их коэффициентов, т.е. и изоморфны. ■

В выберем элементы , определяемые набором . Они образуют базис в . Такой базис называется биортогональным или взаимным к . Т.е.

.

(4)

В дальнейшем вместо будем писать .

Теорема 3. Для произвольного базиса пространства в сопряжённом пространстве существует, и притом только один, базис , биортогональный с базисом .

Доказательство: Пусть – произвольный базис пространства . Числа определяют линейную функцию . Из равенства (4) имеем:

.

Так как по любой системе чисел можно построить единственную линейную функцию, то вектор определён однозначно. Аналогично равенствами определяется вектор пространства и т.д. Построенные таким образом векторы пространства линейно независимы. Следовательно, базисы и биортогональны. ■

Покажем, что имея в сопряжённых пространствах и биортогональные базисы, легко вычислить координаты любого вектора как пространства , так и пространства . В самом деле, пусть – координаты вектора пространства в базисе :

и пусть – базис пространства , биортогональному базису .

Вычислим :

.

Таким образом, если и биортогональные базисы сопряжённых пространств, то координаты произвольного вектора в базисе вычисляются по формулам .

Пусть теперь – координаты вектора в базисе :

.

Вычислим :

.

Следовательно, если и –биортогональные базисы, координаты произвольного вектора в базисе вычисляются по формулам .

Имея биортогональные базисы и сопряжённых пространств, легко вычислить значение пары . Пусть и – биортогональные базисы сопряжённых пространств и . Тогда, согласно правилу суммирования, можем записать: и . Следовательно,

.

(5)

где – координаты вектора пространства в базисе ; – координаты вектора пространства в биортогональном базисе . В наиболее общем случае, когда базисы и не взаимны, а произвольны, обозначив , будем иметь

.

(6)

(по индексам и производится суммирование!).

Сравнивая равенства (5) и (6), видим что значения в биортогональных базисах записывается гораздо проще, чем в произвольных.

На первый взгляд может показаться, что пространства и в нашем изложении играли различную роль. Однако это нее так, ибо эти пространства, как мы уже отмечали выше, изоморфны и между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. А это значит, что пространства и равноправны, т.е. любое предложение, справедливо в одном из них, справедливо и в другом.

Далее вектора из будем называть контравариантными векторами, а вектора из – ковариантными.