- •§12. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства
- •1О. Направленные отрезки.
- •2О. Размерность линейных пространств геометрических векторов.
- •3О. Проекции вектора на ось
- •Свойства проекции:
- •Свойства скалярного произведения.
- •Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах
- •Свойства смешанного произведения.
§12. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства
1О. Направленные отрезки.
Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.
Определение 1. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.
Направленный отрезок обозначается или .
Определение 2. Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.
Н а чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце.
Определение 3. Направленные отрезки и называются сонаправленными, (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.
Направленные отрезки и называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.
Направленные отрезки и называются противоположными.
Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.
Определение 4. Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).
Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:
1) отрезок эквивалентен сам себе;
2) если эквивалентен , то эквивалентен ;
3) если эквивалентен и – эквивалентен , то эквивалентен .
Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.
Определение 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).
В школе вектор – это параллельный перенос.
Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.
Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.
Поэтому часто будем писать: «вектор ».
Длина .
Определение 6. Вектор a такой, что называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором . Его длина равна нулю, а направление не определено.
Определение 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.
Определение 8. Три и более векторов называются комплонарными, если они параллельны некоторой плоскости.
Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной.
Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим и . Тогда есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.
Покажем, что вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда – параллелограмм; аналогично, – параллелограмм – параллелограмм , т.е. они определяют один и тот же вектор.
Определение 9. Вектор называется суммой векторов и . Пишут: .
Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.
С войства сложения векторов.
1 . .
2. .
3. , т.к. .
4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что .
Если , то через обозначим . Тогда .
Определение 10. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
-
векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если ;
-
.
Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор.
Пишут: .
Свойства умножения вектора на число.
-
и .
-
и вектора .
-
и вектора .
-
вектора .
Доказательство 1). Пусть для простоты и будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместо и взять и , то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна .
Доказательство 2)–4). Очевидно, такое, что получаются коллинеарные вектора.
Теорема 1. Множество векторов пространства образует линейное пространство.
Доказательство. Следует из свойств сложения векторов и умножения на число.
Замечание. Вычитание векторов. , т.е.
Т еорема 2. a) Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство. б) Множество компланарных векторов образует линейное пространство.
Далее выясним размерности и базисы перечисленных пространств.