§2. Алгебраические операции. Основные типы алгебраических структур
1°. Алгебраические операции.
Алгебра − наука об алгебраических операциях.
Пусть X − произвольное множество.
Определение 1. -арной алгебраической операцией на X называется отображение . Т.е. –компонентному элементу однозначно ставится в соответствие элемент .
Задача. Пусть . Сколько n–арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций
Алгебраические операции при называются унарными, при – бинарными, – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции.
Если , то пишут или . Операции на X обозначают символами . Последний символ используется для операции сложения, остальные − для операции умножения.
Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой.
На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры.
Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур).
1. (R, +), так что R имеем
2. (R, -).
3. (R, ).
4. Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на (R).
5–8. То же самое для С.
9. (Rn, +)
10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, т.к. R3 R3 R.
11. – множество всех отображений относительно операции композиции является алгебраической структурой.
12. Как правило, алгебраическая операция на конечном множестве может быть задана с помощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно, Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую операцию, обозначаемую (символ операции). Соответствующую таблицу Кэли можно выбрать в виде
2 1 |
Д |
О |
Т |
Д |
Д |
О |
Д |
О |
О |
Д |
Т |
Т |
Т |
Т |
Д |
13. Примерами тернарных операций на R R R R являются:
-
.
-
.
-
.
Обычно полезно изучать операции со специальными свойствами.
Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если выполняется .
Замечание. Если и − коммутативная операция, то таблица Кэли симметрична относительно диагонали.
Задача. Пусть . Сколько коммутативных бинарных операций на X? Ответ. Таких операций .
Примеры.
-
(R, +). Операция сложения коммутативна и ассоциативна.
-
(R, -). Операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например, , .
-
(R,), где . Такая операция коммутативна, но не ассоциативна. Действительно: .
-
Умножение матриц является ассоциативной, но не коммутативной операцией.
Теорема 1 (обобщённая ассоциативность). Если операция ассоциативна, то в выражении скобки можно расставлять в любых местах.
Доказательство. Проводится методом математической индукции. Для утверждение повторяет определение ассоциативности. Пусть . Рассмотрим выражения
и ,
в которых выписаны лишь внешние скобки. Пусть в силу предположения индукции эти выражения можно переписать в виде
и
,
или
и
которые равны в силу определения ассоциативности. ■
Определение 4. Элемент называется нейтральным относительно алгебраической операции , если
. |
(1) |
Теорема 2. Нейтральный элемент единственен.
Доказательство. (от противного). Пусть и − два нейтральных элемента
(по условию нейтральности ) и
(по условию нейтральности )
.■
Определение 5. Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с единицей.
Определение 6. Элемент моноида называется симметричным к элементу , если
|
(2) |
Теорема 3. Если в моноиде для есть симметричный элемент, то такой элемент единственен.
Доказательство. Пусть для данного два симметричных элемента и Тогда в силу (1) и (2) имеем:
.■
Обычно умножение называют мультипликативной операцией, сложение – аддитивной. В случае мультипликативной операции результат операции называют произведением, нейтральный элемент – единицей (обозначают 1), симметричный элемент к – обратным (пишут ). В случае аддитивной операции результат операции называют суммой (x+y), нейтральный – нулём (обозначают 0), симметричный – противоположным (обозначают ).
Теорема 4. Если в моноиде для элементов и есть симметричные элементы и соответственно, то для элемента также существует симметричный элемент, равный
Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо проверить условия (2): Проверим первое из этих равенств. Имеем:
Аналогично проверяется второе условие из (2).■
2°. Группа, свойства группы.
Определение 7. Непустое множество G с заданной алгебраической операцией называется группой, если
1) – ассоциативная операция.
2) В G нейтральный элемент .
3) симметричный элемент из
Если – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой.
Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция − умножение, то группа называется мультипликативной, если – сложение, то G – аддитивная группа.
Примеры.
-
(N,+) – коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.
-
(N,) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.
-
(Z, +)– аддитивная абелева группа.
-
(Q, +)– аддитивная абелева группа.
-
(R, +)– аддитивная абелева группа.
-
(R, ) – абелева полугруппа с нейтральным элементом.
-
(R) – мультипликативная абелева группа.
-
– абелева группа: .
-
Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения.