2О. Размерность линейных пространств геометрических векторов.

Теорема 3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.

Пусть и – коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть . Тогда если , то , если , то . В обоих случаях и – линейно зависимы.

Пусть и – линейно зависимы, т.е. и . Тогда по Def 10 и – коллинеарны.

Следствие 1. Линейное пространство коллинеарных векторов одномерно и его базисом может служить любой ненулевой вектор.

Следствие 2. Если и – коллинеарны и , то .

Доказательство. . Если . Т.о. и .

Теорема 4. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Будем предполагать, что никакие два из них не коллинеарны, т.к. иначе доказательство очевидно из §11 (свойство линейно зависимых векторов).

Пусть компланарны. Перенесем их в общую точку O. Проведем через концы вектора c прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм . Векторы и , и – коллинеарны , . Но , , – линейно зависимы.

Пусть , , – линейно зависимы. Тогда , одновременно не равные нулю: . Если, например, , то – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельными и , , лежат в одной плоскости, т.е они компланарны.

Следствие. Линейное пространство компланарных векторов двумерно и его базисом может служить любая пара неколлинеарных.

Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Предположим, что никакие три не компланарны, иначе очевидно. Остальное следует из чертежа по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точку D проведем 3 плоскости, параллельные парам векторов , ; , ; , .

, . , , , – линейно зависимы.

Следствие. Линейное пространство всех геометрических векторов трехмерное. Его базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

3О. Проекции вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая прямая и единичный вектор .

Определение 1. Осью будем называть прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

Пусть – точка непринадлежащая . Проведем через точку плоскость . Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось . Обозначение: .

Если наряду с точкой взять точку , то можно построить .

Определение 2. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на ось . Обозначают: .

Иногда говорят, что есть компонента вектора на оси .

Вектора и – коллинеарны  .

Определени 3. Такое число называется скалярной проекцией (проекцией) вектора на ось . Пишут: .

Таким образом .

Легко видеть, что , если .

Свойства проекции:

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

Действительно, пусть .

Если (см. рис. 1), то , поэтому

.

Если (см. рис. 2), то , и

.

2. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число:

.

Действительно, если , то  и .

Если , то

3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

.

Действительно, это очевидно из следующих чертежей:

Следствие. Свойство (3) справедливо для  количества векторов.

4^о. Скалярное произведение векторов.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Т.о., если , – вектора, то скалярное произведение обозначается, и .