Глава 3

Алгоритм Евклида

иосновная теорема арифметики

1.Простые числа

Определение. Натуральное число p называется простым, если p > 1 и p не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p. По соглашению, 1 не является простым числом. Остальные числа, имеющие три и более делителей, называются составными.

3.1.Теорема Евклида. Докажите, что простых чисел бесконечно

много.

3.2.Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

3.3.Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 — простое число.

3.4.Пусть n > 2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

3.5.Найдите все такие простые числа p и q, для которых выполняется равенство p2 − 2q2 = 1.

3.6.Докажите, что если число n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 — простое число.

3.7.Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно. (См. также 4.127.)

3.8.Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно. (См. также 4.128.)

3.9. Докажите, что составное число n всегда имеет делитель

√

d 6 n.

3.10.Когда натуральное число n имеет нечетное количество дели-

телей?

3.11.Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111. (См. также 4.25.)

283. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики

3.12.Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных

чисел.

3.13.Докажите, что для любого натурального n найдутся n подряд идущих натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.

3.14.Существуют ли а) 5; б) 6 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию?

3.15.Существуют ли арифметическая прогрессия, состоящая лишь из простых чисел?

3.16.Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что d > 30000.

Определение. Два простых числа, отличающиеся на 2 называются

простыми числами-близнецами.

3.17.Докажите, что 3, 5 и 7 являются единственной тройкой простых чисел-близнецов.

3.18.Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

3.19.Докажите, что при n > 2 числа 2n − 1 и 2n + 1 не могут быть простыми одновременно.

3.20.При каких целых n число n4 + 4 — составное?

3.21.Верно ли, что многочлен P(n) = n2 + n + 41 при всех n принимает только простые значения?

3.22.Пусть {pn} — последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . ). Докажите, что pn > 2n при n > 5. При каких n будет выполняться неравенство pn > 3n?

3.23.Докажите неравенство pn+1 < p1p2 . . . pn.

3.24.Верно ли, что все числа вида p1p2 . . . pn + 1 являются прос-

тыми?

3.25.Числа Евклида. Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно

числа Евклида:

e1 = 2, en = e1e2 . . . en−1 + 1 (n > 2).

Все ли числа en являются простыми? (См. также 4.79.)

3.26. Числа Ферма. Докажите, что если число an + 1 простое, то a . 2 и n = 2k. (Простые числа вида fk = 22k + 1 называются числами Ферма.

3.27.Докажите, что fn делит 2fn − 2.

3.28.Докажите, что числа Ферма fn при n > 1 не представимы в виде суммы двух простых чисел.

3.29.Числа Мерсенна. Докажите, что если число an − 1 простое, то a = 2 и n — простое.

Простые числа вида q = 2p − 1 называются числами Мерсенна.

3.30.Пусть Pn(x) = anxn +. . .+a1x+a0 — многочлен с целыми коэффициентами (n > 1, an 6= 0). Может ли быть так, что при x = 0, 1, 2, . . .

все числа Pn(x) — простые?

2. Алгоритм Евклида

Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) целых чисел a1, . . . , an называется такой положительный общий делитель a1, . . . , an, который делится на любой другой общий делитель этих чисел. НОД чисел a1, . . . , an обозначается (a1, . . . , an).

Если наибольший общий делитель чисел a1, . . . , an равен 1, то эти числа называются взаимно простыми.

3.31.Докажите, что если в наборе целых чисел a1, . . . , an хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.

3.32.В прямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ. Через какое число узлов она проходит? На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?

3.33.Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок [0; 1] разбит на p + q одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из p + q − 2 чисел

3.34.С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нем каждый четвертый день, второй — каждый пятый, третий — каждый шестой и четвертый — каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?

3.35.В задаче 1.1 доказана возможность деления с остатком произвольного целого числа a на натуральное число b. Докажите, что из равенства a = bq + r следует соотношение (a, b) = (b, r).

3.36.Алгоритм Евклида. Пусть m0 и m1 — целые числа, m1 > 0

иm1 - m0. Докажите, что при некотором k > 1 существуют целые числа

30 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики

a0, a1, . . . , ak−1 и m2, . . . , mk такие, что m1 > m2 > m3 > . . . > mk > 0,

и(m0, m1) = mk.

3.37.Докажите, что для любого s от k − 1 до 0 существуют числа us, vs такие, что usms + ms+1vs = d, где d = (m0, m1). В частности, для некоторых u и v выполняется равенство:

m0u + m1v = d.

(См. также 6.67.)

3.38. Пусть (a, b) = 1 и a | bc. Докажите, что a | c.

3.39. Найдите (1 . . . 1, 1 . . . 1).

| {z } | {z }

mn

3.40.Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b, если известно, что a · b = 600?

3.41.Натуральные числа a1, a2, . . . , a49 удовлетворяют равенству

a1 + a2 + . . . + a49 = 540.

Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?

3.42.Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить угол 19◦ на 19 равных частей?

3.43.Числа от 1 до 1000 выписаны подряд по кругу. Начиная с первого, вычеркивается каждое 15-е число: 1, 15, 31, . . . , причем при повторных оборотах, зачеркнутые числа считаются снова. Число оборотов не ограничено. Сколько чисел останутся незачеркнутыми?

3.44.Докажите, что (5a + 3b, 13a + 8b) = (a, b).

3.45.Может ли наибольший общий делитель двух натуральных чисел быть больше их разности?

3.46.Докажите, что для нечетных чисел a, b и c имеет место ра-

венство

b + c, a + c, a + b = (a, b, c).

2 2 2

3.47.По окружности радиуса 40 катится колесо радиуса 18. В колесо вбит гвоздь, который ударяясь об окружность, оставляет на ней отметки. Сколько всего таких отметок оставит гвоздь на окружности? Сколько раз прокатится колесо по всей окружности, прежде чем гвоздь попадет в уже отмеченную ранее точку?

3.48.Для некоторых целых x и y число 3x + 2y делится на 23. Докажите, что число 17x + 19y также делится на 23.

3.49.Докажите, что следующие дроби несократимы при всех натуральных значениях n:

также будет целым?

3.52. Найдите все натуральные n > 1 для которых n3 − 3 делится на n − 1.

3.53. На какие натуральные числа можно сократить дробь 3m − n ,

5n + 2m

если известно, что она сократима и что числа m и n взаимно просты.

3.54. Докажите, что при m 6= n выполняются равенства: а) (am − 1, an − 1) = a(m,n) − 1 (a > 1); б) (fn, fm) = 1, где fk = 22k + 1 — числа Ферма. (См. также 3.39, 3.122, 6.69.)

3.55.Докажите, что число 22n − 1 имеет по крайней мере n различных простых делителей.

3.56.Докажите, что для простых чисел выполняется неравенство pn+1 6 22n + 1.

3.57.Докажите, что равенство (a, mn) = 1 равносильно выполнению двух условий (a, m) = 1 и (a, n) = 1.

3.58.Докажите, что если (a, b) = 1, то (2a + b, a(a + b)) = 1.

3.59.Докажите, что если (a, b) = 1, то наибольший общий делитель чисел a + b и a2 + b2 равен 1 или 2.

3.60.Пусть a и b — натуральные числа. Докажите, что среди чисел a, 2a, 3a, . . . , ba ровно (a, b) чисел делится на b.

323. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики

3.61.Пусть (a, b) = 1 и (x0, y0) — некоторое целочисленное решение уравнения ax + by = 1. Докажите, что все решения этого уравнения в целых числах получаются по формулам x = x0 + kb, y = y0 − ka, где k — произвольное целое число.

3.62.Как описать все решения в целых числах уравнения ax+by = c при произвольных a, b, c?

3.63.Решите в целых числах уравнения (укажите все решения):

3.64.Докажите, что число шагов в алгоритме Евклида может быть сколь угодно большим.

3.65.Существует ли в сутках момент, когда расположенные на общей оси часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы в 120◦?

3.66.Найдите все взаимно простые a и b, для которых

3.67. Докажите, что если (a1, a2, . . . , an) = 1, то уравнение

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = 1

разрешимо в целых числах.

Определение. Пусть a1, . . . , an — отличные от 0 целые числа. Наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам. НОК чисел a1, . . .

.. . , an обозначается [a1, . . . , an].

3.68.Докажите равенства

а) [1, 2, . . . , 2n] = [n, n + 1, . . . , 2n];

б) (a1, a2, . . . , an) = (a1, (a2, . . . , an)); в) [a1, a2, . . . , an] = [a1, [a2, . . . , an]].

3.69. На доске написано n натуральных чисел. За одну операцию вместо двух чисел, не делящих друг друга, можно написать их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное.

а) Докажите, что можно провести только конечное число операций. б) Финальный результат независимо от порядка действий будет од-

ним и тем же. Например:

(4, 6, 9) → (2, 12, 9) → (2, 3, 36) → (1, 6, 36),

(4, 6, 9) → (4, 3, 18) → (1, 12, 18) → (1, 6, 36).