Отсюда cos α + cos β cos γ = sin α sin β, cos β + cos α cos γ = sin α sin γ,

α + β + γ = π, a sin γ = c sin α, b sin γ = c sin β. 8.86. Из первого равенства

cos A = cos α − cos β cos γ. sin β sin γ

Отсюда

Так как данные формулы переходят одна в другую при круговой перестановке переменных α, β, γ, A, B, C и от этого преобразования правая часть последнего равенства не меняется, то

Глава 9

9.2. После подстановки z = x + β, коэффициент при x2 оказывается равен A + 3β. Поэтому нужно выбрать β = −A/3.

9.3. а) Функция f(x) = x3 + px — нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. б) График функции f(x) = = x3 + px + q получается из графика функции f(x) = x3 + px параллельным переносом, поэтому он также имеет центр симметрии. в) Из задачи 9.2 следует, что функция f(x) = ax3 + bx2 + cx + d может быть получена из функции f(x) = x3 + px + q линейной заменой переменной и умножением на число. Оба эти преобразования сохраняют свойство графика иметь центр симметрии.

9.5. Приведите уравнение к виду 2x3 + (x + 1)3 = 0.

9.6. Воспользуйтесь условиями x1x2 +x1x3 +x2x3 = 0, x1x2x3 = b > 0. 9.7. Числа a и b должны удовлетворять системе уравнений

a3 + b3 = −q, a3 b3 = −p3/27.

Поэтому a3 и b3 можно найти как корни квадратного уравнения y2 + + qy − p3/27 = 0. То есть

9.8. Разложение выглядит следующим образом:

a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a + bω + cω2)(a + bω2 + cω).

Здесь ω и ω2 — кубические корни из 1:

9.9. x1 = a + b, x2 = aω + bω2, x3 = aω2 + bω, где ω и ω2 —

кубические корни из 1 (смотрите задачу 9.8.) 9.10. Так как

a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac = (a + bω + cω2)(a + bω2 + cω), x2 + y2 + z2 − xy − yz − xz = (x + yω + zω2)(x + yω2 + zω),

то

(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − xz) =

= (X + Yω + Zω2)(X + Yω2 + Zω) = X2 + Y2 + Z2 − XY − YZ − XZ.

9.11. Формула Кардано получается, если воспользоваться ответом задачи 9.7 и формулой для корня x1 из задачи 9.9. Для того, чтобы найти два других корня, заметим, что при нахождении чисел a и b кубический корень можно извлечь тремя способами. Всего получается 9 комбинаций x вида x = a + b, но только три из них будут корнями, поскольку a и b связаны условием a · b = −p/3. Если в качестве a и b взять пару чисел из решения задачи 9.7, то кроме корня x1 = a + b, исходное кубическое уравнение будет иметь корни x2 = ωa + ω2b и x3 = ω2a + ωb, где ω — кубический корень из 1.

9.12. Подбором находим корень x0 = 1. Так как x3 + x − 2 = (x − 1)(x2 + x + 2),

то других действительных корней нет. Поэтому формула Кардано дает корень x0 = 1:

ss

rr

Витоге получается, что уравнение имеет три действительных корня,

√√

Умножая первое уравнение на q0, а второе на q и вычитая почленно, будем иметь

x3(q0 − q) + x(pq0 − qp0) = 0, x2(q0 − q) + pq0 − qp0 = 0. (13.8)

Исключая теперь из уравнений (13.7) и (13.8) переменную x, получим искомый результат.

9.29. Чтобы правая часть уравнения 9.5 была полным квадратом необходимо и достаточно выполнение двух условий: дискриминант равен нулю; старший коэффициент неотрицателен. Запишем эти условия в явном виде:

D(α) = (C + α2)(A + 2α) − B2 = 0, α > −A/2.

Первое соотношение является кубическим уравнением относительно α. Его корни могут быть найдены по формуле Кардано. Остается заметить, что

224 Ответы, указания, решения

поэтому один из найденных корней обязательно будет удовлетворять условию α > −A/2.

9.35. Если hn = sin 2α, то hn+1 = sin α. Поскольку h1 = sin(π/6),

n=2

9.36. Сделаем замену x = cos t, t [0; π/2]. Уравнение перепишется в виде 8 cos t cos 2t cos 4t+1 = 0. Домножая на sin t, получаем, что корни последнего уравнения лежат среди корней уравнения sin 8t + sin t = 0 или sin(7t/2) cos(9t/2) = 0. Решая уравнение и делая проверку, находим, что на отрезке [0; π/2] лежит 3 корня. Ответ: 3.

9.40. б) Система может быть переписана в виде

После замены x = tg α, α (−π/2, π/2) получаем, что y = tg 2α, z = tg 4α, x = tg 8α. Решая уравнение tg α = tg 8α, находим, что α = πk7 ,

−4 6 x 6 3. Ответ: (x, y, z) = (tgπk7 , tg2πk7 , tg4πk7 ) (−3 6 k 6 3). 9.43. Сделайте замены a = 2 − x, b = 2 − y, c = 2 − z, a = 2 cos α.

9.44. После замены x = sin t, t [−π/2; π/2], приходим к уравнению

r

1 + sin 2t = cos 2t.

2

√

9.46. Обозначим через dn разность dn = xn − 2. Тогда последовательность {dn} будет удовлетворять рекуррентному соотношению

Если для некоторого n окажется, что 0 < dn < 1, то начиная с этого

момента d будет убывать не медленнее, чем геометрическая прогрес-

n √

сия: 0 < dn+1 < dn/2. В нашем случае d2 = 3/2 − 2 удовлетворяет нужному условию, поэтому

Последовательность {dn} оказывается монотонной и ограниченной. Значит она имеет предел, который может быть только равным 0.

9.49. Воспользуйтесь методом математической индукции.

9.51. Рассмотрите последовательность, которая задается условиями:

s

9.52. Так как

то

ln N = lim 2k(N1/2k − 1).

k→∞

9.73. б) Докажите, что произведение элементов данных последовательностей не меняется: anbn = ab (n > 0). Затем перейдите к пределу в этом равенстве.

9.74.

9.80. Последовательности {yn} и {zn} сходятся к различным корням уравнения x2−px+q = 0. Какой именно из корней является предельным значением, зависит от знака параметра q.

9.81. Докажите, что подходящие дроби pn/qn к числам α и β удовлетворяют соотношению

9.82. Так как функция f(x) нечетная, то можно пытаться найти такую точку x0 6= 0, что x1 = −x0. В этом случае получится, что

x2 = −x1 = x0. Условие x1 = √−x0 записывается в виде уравнения

x0(x20 − 1) = −x0. Отсюда x0 = ± 2.

9.83. Нетрудно найти первые многочлены:

P1(x) = x2 − 3x + 1 = x2 − L2x + 1,

P2(x) = x2 − 7x + 1 = x2 − L4x + 1,

P3(x) = x2 − 47x + 1 = x2 − L8x + 1,

где Lk — числа Люка. Общая формула доказывается по индукции:

Pk(x) = x2 − L2k x + 1.

Отсюда

рон описанного и вписанного многоугольников an = tg(π/n), bn = sin(π/n), pn = nbn, Pn = nan.

Далее, подставляя значение x = π/2, приходим к нужному равенству. 9.87. Для наибольшего числа a график функции y = ax должен

касаться прямой y = x. Ответ: a = e1/e, lim xn = e.

n→∞

д) Если a = 1, то (x, y) = (t, 1 − t) (t R); если a = −1, (x, y) = = (t, t − 1) (t R); если a 6= ±1, то (x, y) = (a2 + 1, −a).

е) Если a = 0, то (x, y) = (t, 0) (t R); если a = 1/2, b = 1/2, (x, y) = (1/2 + t, t) (t R); если a = 1/2, b 6= 1/2, то решений нет; если

ж) Если a = b = 0, то (x, y) = (t1, t2) (t1, t2 R); если a = b 6= 0,

(x, y) = (t, 1 − t) (t R); если a = −b 6= 0, (x, y) = (1 + t, t) (t R); если a 6= ±b, то (x, y) = (1, 0).