7.85. а) Параллельный перенос на вектор a; б) гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом 2; в) поворот против часовой

w = k1 · k2 · z + k2(1 − k1)A1 + (1 − k2)A2.

Если k1 ·k2 = 1, то получаем параллельный перенос. Если же k1 ·k2 6= 1, то это гомотетия с коэффициентом k1 · k2, центр A которой находится из уравнения

k1 · k2 · z + k2(1 − k1)A1 + (1 − k2)A2 = k1 · k2(z − A) + A.

7.93. а) Воспользуйтесь задачей 7.58, а); б) Воспользуйтесь задачей 7.58, б); в) Воспользуйтесь задачей 8.41, а) – б).

7.96. Формулу (7.1) можно переписать в виде

где δ = ad − bc 6= 0.

Глава 8

8.1. Сумма векторов, направленных из центра правильного n-уголь- ника в его вершины, сохраняется при повороте на угол 2πn , поэтому она

может быть только нулевым вектором.

8.2. а) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность.

б) Рассмотрим правильный семиугольник A1A2 . . . A7. Пусть M — точка пересечения диагоналей A1A4 и A2A5. Равенство задачи следует из подобия треугольников A1MA5 и A2A3A4.

в) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного двена-

Отсюда

cos(α + 2β) = cos α · 3 sin2 α − sin α · 32 sin 2α = 0.

8.46. а) Воспользуйтесь равенствами sin 15◦ = sin(45◦ − 30◦) и cos 15◦ = cos(45◦ − 30◦); б) Воспользуйтесь результатом задачи 8.4.

8.47. Воспользуйтесь равенствами sin 6◦ = sin(60◦ − 54◦) и sin 54◦ = = cos 36◦.

8.48. а) На первом шаге нужно применить формулы для суммы и разности синусов к величинам sin α + sin β и sin γ − sin(α + β + γ). б) Решается аналогично предыдущему пункту.

8.49. Сумма tg α + tg β + tg γ приводится к виду

tg α + tg β + tg γ = sin(α + β + γ) + sin α sin β sin γ.

8.50. α + β + γ = kπ.

8.51. Воспользуйтесь равенством а) из задачи 8.48. 8.55. n = ±1, ±3, ±5, ±15.

8.58. Наибольшее значение — 1, наименьшее — 1/4. 8.59. Воспользуйтесь равенством

1 = (sin2 x + cos2 x)2 = sin4 x + cos4 x + 2 sin2 x cos2 x.

8.63. x = 2(cos α + cos β + cos γ) + 8 cos α cos β cos γ;

y = −2 − 4(cos α cos β + cos α cos γ + cos β cos γ);

z = 2(cos α + cos β + cos γ).

8.65. а) Пусть y = arcsin x (−π/2 6 x 6 π/2). Тогда sin y = x, cos y =

Остается проверить равенство

sin(arctg x + arcctg x) = 0.

Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что

− π2 < arcsin x + arccos x < 3π2

и найти

sin(arcsin x + arccos x).

8.68. π/2 при x > 0 и −π/2 при x < 0.

8.69. Прежде всего нетрудно показать, что величины arctg x+ arctg y

Так как

−π < arctg x + arctg y < π,

то ε может принимать лишь три значения 0 и ±1. Для нахождения ε рассмотрите косинусы левой и правой частей исходного равенства.

8.70, 8.71 Воспользуйтесь формулой из задачи 8.69.

8.74. По формуле котангенса суммы

ctg(arcctg F2n − arcctg F2n+2) = F2nF2n+2 + 1 = F2n+1.

F2n+2 − F2n

Тем самым равенство (8.2) доказано. Суммируя его по n от 1 до ∞, находим

arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 + . . . + arcctg F2n+1 + . . . = arcctg 1 = π/4.

8.80. arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x = π/2.

8.82. По формуле из задачии 8.69 2 arctg 1/5 = arctg 5/12. Ответ: 0. 8.83. Для доказательства соотношения a = b cos γ + c cos β восполь-

зуйтесь равенством

sin α = sin β cos γ + cos β sin γ.

Другие соотношения проверяются аналогично.

8.84. Из первых двух равенств системы (8.4) находим:

После подстановки этих равенств в третье уравнение системы, приходим к соотношению

1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ − 2 cos α cos β cos γ = 0.