212 Ответы, указания, решения
6.133. 1 и 17 километров.
√
6.134. 2 14.
6.135. По трем точкам график квадратного трехчлена строится однозначно.
6.136, 6.137. Каждое равенство в системе можно интерпретировать как равенство нулю соответствующего многочлена в точках a, b и c.
6.138. Если f(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, то f(−x) также будет интерполяционным многочленом Лагранжа. В силу единственности такого многочлена (см. задачу 6.129) f(x) = f(−x).
6.139. Пусть многочлен P(x) таков, что P(0) = 1, . . . , P(n) = 3n. Докажите, что тогда P(n + 1) < 3n+1.
6.140. Воспользуйтесь равенством
|
(x − x2) . . . (x − xn) |
|
|
(x − x1) . . . (x − xn−1) |
||||||
f(x) = f(x1) |
|
|
+ . . . + f(xn) |
|
|
. |
||||
(x1 − x2) . . . (x1 − xn) |
(xn − x1) . . . (xn − xn−1) |
|||||||||
6.141. Рассмотрите функцию |
|
|
|
|
|
|||||
f(λ) = |
x1 |
+ . . . + |
xn |
= 1 − |
(λ − a1) . . . (λ − an) |
. |
||||
λ − b1 |
λ − bn |
|
||||||||
|
|
|
|
(λ − b1) . . . (λ − bn) |
||||||
Глава 7
7.4. а) Длина стороны треугольника не превосходит суммы длин
двух других его сторон. |
|
|
б) Длина стороны треугольника не меньше |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
модуля разности двух других его сторон. |
в) Хорда короче дуги, кото- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рую она стягивает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.5. а) √ |
|
|
cos |
π |
|
+ i sin |
π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
б) |
2 + √ |
|
cos |
π |
+ i sin |
π |
= 2 cos |
π |
cos |
π |
+ i sin |
π |
; |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
12 |
|
|||||||||||||||||
в) 2 cos |
|
|
|
|
cos |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
12 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ i sin |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) (1/ |
|
|
2) |
|
cos |
|
|
|
+ i sin |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
д) cos 2ϕ + i sin 2ϕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7.7. √ |
|
− 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7.8. а) Re x < 0; б) 0 < arg z < |
; в) | Re z| < 2; |
г) |z| < 1 и Im z 6 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.9. Окружность (x + 5/3)2 + (y − 1)2 = (4/3)2.
7.11. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
7.13. Домножьте равенство на сопряженное.
7.14. Воспользуйтесь пунктом б) из задачи 7.2.
Ответы, указания, решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) |
7.16. а) |
|
|
|
); д) ( |
p |
|
√ |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
; е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
±(2 − i); |
|
б) |
|
± |
|
1 + 1/ |
|
2 + i |
1 − 1/ |
2 ; |
|
||||||||||||||||||||||
|
± |
√ |
|
|
√ |
|
√ ± |
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( 3/2 + i/ |
2 |
|
|
|
|
|
3 − 4i) |
|
|
|
((5 − i)/ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
|
|
|
z = −2 |
|
|
5i |
|
|
|
|
z = 2 |
|
|
i |
|
||||||||||
|
7.17. а) |
−1 ± −3 |
; |
|
б) |
± |
; |
в) |
|
, |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
д) z = i + 2, 3 − i; е) z = 3 + i, 2 + i. |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7.18. а) |
z = −1, |
3, 1 ± 2i; |
|
б) z = −1 − |
3 |
|
2, −1 + |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
в) z = 2, 2 ± 2√6i; г) x = tg 16π + kπ4 , (k = 0, 1, 2, 3). 7.19. Воспользуйтесь результатом задачи 6.6.
7.20. Выразим t через z:
213
в) ±(7 + 5i);
г) z = 3, 2i;
√
3 2(1 ± i√3);
2
t = i11 −+ zz.
Сначала найдем значения t, которые соответствуют точкам z, лежащим на единичной окружности. Пусть z = cos ϕ + i sin ϕ. Представим числа 1 − z и 1 + z в тригонометрической форме:
1 − z = 2 cos ϕ + π |
|
cos ϕ + π + i sin |
ϕ + π |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
1 + z = 2 cos |
|
ϕ |
cos |
ϕ |
+ i sin |
ϕ |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||
Подставляя эти представления в формулу для t, находим, что t — действительное число: t = tg(ϕ/2). Обратные вычисления показывают, что выбирая t именно таким образом, мы получим все точки единичной окружности кроме точки z = −1.
7.21. Для того, чтобы построить график на отрезке [−1; 1], представьте x в виде x = sin t (t [−π/2; π/2]).
7.29. Сумма степеней равна 0, если s 6= kn, и равна n, если s = kn. 7.30. Рассмотрите действительную и мнимую части первой формулы
Муавра.
7.31. Представьте каждое из чисел в тригонометрической форме.
7.34. а) −1/2; 1/8.
7.35. а) Проверьте, что P(i) = P(−i) = 0 и примените теорему Безу. б) Как и в пункте а), достаточно проверить, что Q(ρ(cos ϕ±sin ϕ)) = 0.
7.37. Смотрите приложение В, V.
7.39. Найдите рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют многочлены 2Tn(x/2).
7.40. Пусть α = m/n. Тогда cos(360nα)◦ = 1. Так как cos(360nα)◦ = = T360n(cos α◦), то получаем, что многочлен T360n(x) − 1 обращается в ноль при x = cos α◦ = 1/3. Значит многочлен f(x) = 2T360n(x/2) − 2
214 |
Ответы, указания, решения |
имеет корнем число x = 2/3. Согласно задаче 7.39, многочлен f(x) имеет старший коэффициент равный 1, а остальные его коэффициенты — целые числа. Но, по теореме о рациональных корнях многочлена f(x) может иметь только целые корни.
7.41. Рассмотрите многочлен T360q(x) − 1.
7.44. Pn(x) = 2Tn(x/2), где Tn(x) — многочлен Чебышёва. 7.45. Замените тангенс на отношение синуса к косинусу.
7.46. Перейдите в равенстве z + z−1 = 2 cos α к сопряженным числам и вычислите z.
7.47. Поскольку в многочлены Чебышёва удобно подставлять числа вида x = cos α, то для решения задачи следует воспользоваться равенством sin α = cos(α − π/2). Ответ: Если n = 2k, то
Tn(sin α) = (−1)k cos nα, |
Un−1(sin α) = (−1)k+1 |
sin nα |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
cos α |
||
Если n = 2k + 1, то |
|
|
|
|
|
|
Tn(sin α) = (−1)k sin nα, |
Un−1 |
(sin α) = (−1)k |
cos nα |
. |
||
|
||||||
|
|
|
cos α |
|||
7.49. Если f(z) = 0, то f(z) = f(z) = 0.
7.50. Комплексные корни многочлена можно разбить на пары взаимно сопряженных чисел. При этом произведение соответствующих линейных сомножителей даст квадратный трехчлен с действительными коэффициентами:
(x − a − ib)(x − a + ib) = x2 − 2ax + a2 + b2.
7.51. Выделим в выражении lim 1 + a + ib n ту часть, которая
n→∞ n
будет стремится к ea:
nlim 1 + |
a + ib |
|
n |
= nlim 1 + |
a |
|
n |
nlim 1 + |
ib |
|
n |
||
n |
|
n |
|
|
a + n |
|
|
||||||
→∞ |
|
|
|
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
||||
и найдем второй предел. Заметим, что
|
ib |
|
n |
|
b |
n |
nlim 1 + |
|
|
= nlim 1 + i tg |
. |
||
|
|
|
||||
a + n |
|
a + n |
||||
→∞ |
|
|
→∞ |
|
||
Теперь нужный предел находится по формуле Муавра:
nlim 1 + i tg |
b |
|
n |
= nlim cos |
nb |
+ i sin |
nb |
= cos b + i sin b. |
|
||||||||
a + n |
|
a + n |
a + n |
|||||
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
|
||
7.52. Воспользуйтесь формулой Эйлера из задачи 7.51.
Ответы, указания, решения |
215 |
7.54. На комплексной плоскости функция ln z становится многозначной. Если z = |z|eiϕ, то в качестве ln z можно брать любое из чисел
wk = ln |z| + i(ϕ + 2kπ) (k Z).
Для каждого из них
ewk = eln |z| · ei(ϕ+2kπ) = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) = z.
7.55. az = ez ln a, где экспонента определяется как в задаче 7.51, а логарифм — как в задаче 7.54.
7.56. Корень i-й степени из числа z = eiθ = e(θ+2kπ)i равен eθ+2kπ, где
√
k — произвольное целое число. При z = −1 получаем i −1 = e(1+2k)π. Значение корня, приведенное в задаче, соответствует k = 0.
7.58. б) |
sin(nϕ/2) sin((n + 1)ϕ)/2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
sin(ϕ/2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.60. а) n + |
sin 2nx cos(2n + 1)x |
; |
|
б) n − |
sin 2nx cos(2n + 1)x |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin x |
|
|
|
||
7.61. а) −250; |
б) 249. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.62. б) 2n/2 sin |
nπ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ 2 cos |
(n − 2)π |
|
|
1 |
2n + 2 cos |
(n − 4)π |
|
|
|
||||||||
7.63. б) |
|
2n |
|
|
|
; |
|
|
|
. |
|
|
||||||||
3 |
|
3 |
|
3 |
3 |
|
проекцию на |
|||||||||||||
7.67. а) Все векторы z1, . . . , |
n имеют |
положительную |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
луч arg z = α + π/2.
б) Все числа z−1 1, . . . , z−n1 лежат в полуплоскости π − α < arg z < < 2π − α.
7.69. Если точка z лежит вне треугольника abc, то векторы z − a, z − b, z − c располагаются в некоторой полуплоскости. Сумма их обратных величин не может равняться нулю согласно задаче 7.67, п. б).
7.70. Воспользуйтесь равенством f0 |
(x) = f(x) |
|
1 |
+ |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|||||||||
z − a |
z − b |
z − c |
|
|||||||||||||||||
и результатом задачи 7.69. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7.72. а) n ≡ 1, 2 (mod 3); б) n ≡ ±1 (mod 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7.74. а) n = 6k |
± 2; |
б) n = 6k |
− 2; |
в) ни при каких. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n = 6k |
± |
1 |
|
|
n = 6k |
+ 1 |
при каких. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.75. а) |
|
|
; |
б) |
|
; |
в) ни |
n |
), то его корнем будет |
|||||||||||
7.76. Если x = 1 — корень многочлена P(x |
|
|||||||||||||||||||
любое из чисел xk = cos(2πk/n)+i sin(2πk/n) (k = 0, . . . , n−1). Поэтому
P(xn) делится на (x − x0) . . . (x − xn−1) = xn − 1. 7.77. 7.
7.78. zk = i tg(−π/2 + kπ/n) = i ctg(kπ/n) (1 6 k 6 n − 1). Для нахождения суммы квадратов корней раскроем в уравнении скобки по
216 Ответы, указания, решения
формуле бинома Ньютона и сделаем сокращения:
Cnn−1zn−1 + Cnn−3zn−3 + . . . = 0.
По теореме Виета
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cnn−3 |
(n − 1)(n − 2) |
|
|
||||||||||||||
σ1(z1, . . . , zn−1) = 0, |
σ2(z1, . . . , zn−1) = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
Cnn−1 |
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Далее, применяя результат задачи 6.107, д), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 + z2 |
+ . . . + z2 |
|
|
|
= − |
(n − 1)(n − 2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.80. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
= 1 + ctg2 π |
m |
= 1 − i ctg π |
m |
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
sin2 π n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n−1 |
1 |
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
m |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
m |
|
2. |
|
|||||||||
|
m |
= |
1 − i ctg π |
|
|
|
|
= n − 1 − |
|
i ctg π |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
m=1 sin2 π n |
m=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Согласно задаче 7.78, последняя сумма равна − |
(n − 1)(n − 2) |
|
. Следова- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n−1 |
1 |
|
|
|
n−1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
(n − 1)(n − 2) |
|
|
|
n2 − 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
= |
1 + ctg2 π |
n |
= n − 1 + |
|
|
|
= |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
m=2 sin2 π n |
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.81. Воспользуйтесь тем, что |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
при x (0; π/2) |
|||||||||||||||||||
0 < |
|
− |
|
< 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x |
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(см. задачу 10.44) и результатом задачи 7.80.
7.82. Многочлен P(x) не имеет действительных корней, поэтому все его корни разбиваются на пары комплексно сопряженных чисел z1, z1,
. . . , zn, zn (см. задачу 7.49). Пусть
Yn
(x − zk) = a(x) + ib(x).
k=1
Тогда
Yn
(x − zk) = a(x) − ib(x).
k=1
Отсюда P(x) = a2(x) + b2(x).