Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.

5.85. Нужно присвоить 13-й монете номер 111 и не использовать ее при взвешиваниях. К остальным монетам следует применить алгоритм из задачи 5.84.

Глава 6

6.1. а) − qp ; б), г) qp 2 − q2 ; в) −p(p2 − 3q).

6.2. b2 − abp + bp2 + a2q − 2bq − apq + q2.

6.5. Наибольшее значение суммы квадратов корней — 18. Это значение достигается при a = −3.

6.7. Воспользуйтесь теоремой Виета. Ответ: −5/2, 3/2. 6.8. (p, q) = (0, 0), (1, −2), (−1/2, −1/2).

6.12. Все окружности проходят через точку D(0; 1). 6.13. b = 1/10.

6.14. x = 1.

6.15. Рассмотрите разность данных многочленов. Ответ: a = 2. 6.17. Все точки, удовлетворяющие условию задачи лежат под пара-

болой y = 4x − 2x2. Ответ: y < 4x − 2x2. 6.18. y > x2 − x

6.20. а) Найдите дискриминант этого уравнения и воспользуйтесь неравенством из задачи 10.7. б) Воспользуйтесь неравенством из задачи 10.12.

6.21. Квадратные трехчлены, не имеющие корней, соответствуют внутренности дискриминантной параболы.

6.31. a (16/17; 2). 6.33. a [−1; 1] {3}. 6.34. При m = 0.

6.35. r (−∞; 5/2) (4; 9/2).

6.37. В задаче нудно найти те x, для которых функция

f(a) = −a2 + a(4 − 2x2 − x3) + (2x3 + x2 − 6x + 5)

хотябы при одном a [−1; 2] принимает отрицательное значение. Решим сначала обратную задачу, т. е. найдём те x, для которых

так как график функций f(a) — это парабола, ветви которой направле-

ны вниз, тоусловие ( ) равносильно системе

f(−1) > 0,

f(2) > 0.

Последняя система после преобразований принимает вид

x(x − 1)(x + 2) > 0,

(x − 1)(x + 3) 6 0.

Методом интервлов находим, что x [−2, 0] {1}. Значит, решением исходной задчи будет множество (−∞, −2) (0, 1) (1, +∞).

Ответ: : x (−∞, −2) (0, 1) (1, +∞).

6.38. Пусть после деления P(x) на x − c получился остаток r:

P(x) = (x − c)T(x) + r.

Подставляя сюда x = c, приходим к равенству r = P(c). 6.40. Нет.

6.42. Так как

Q(x) = (x − x1)(−x − x1) . . . (x − xn)(−x − xn) = (√x21 − x) . . . (x2n − x),

6.44. Согласно теореме Безу, остаток равен P(−2) = 3.

6.45. Согласно теореме Безу, остаток от деления P(x) на x + 1 равен P(−1) = a + 10. Он будет равен 0 при a = −10.

208 Ответы, указания, решения

6.46. а) Остаток равен P(1) = 5.

б) Остаток будет многочленом не выше первой степени. Подставляя в равенство

P(x) = (x2 − 1)T(x) + ax + b

значения x = 1, x = −1, находим a = 5, b = 0. Ответ: 5x.

6.47. Достаточно проверить, что P(0) = 0, P(−1) = 0, P(−1/2) = 0. 6.48. Запишем остаток R(x) от деления P(x) на (x − 1)(x − 2) в виде

R(x) = ax + b. По теореме Безу P(1) = 2, P(2) = 1. Отсюда a = −1, b = 3. Ответ: R(x) = 3 − x.

6.49. k = −3.

6.50. Нужно выяснить, при каких n функция

будет многочленом относительно x. По теореме Безу, для этого необходимо и достаточно, чтобы число −1 было корнем многочлена xn + 1. Отсюда n — нечетное число.

6.51. Докажите утверждение индукцией по n. 6.52. а) Сумма всех коэффициентов равна P(1) = 1.

б) Сумма коэффициентов при нечетных степенях находится по формуле

Аналогично, сумма коэффициентов при четных степенях равна

6.53. Чтобы многочлен P(x) делился на x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) необходимо и достаточно выполнение двух условий P(1) = 0 и P(2) = 0. Первое условие дает (a + 1)(b + 1) = 0. Отсюда либо a = −1, либо b = −1. Если a = −1, то из второго условия b = 31/28. При b = −1 аналогично находим a = 31/28. Ответ: (−1, 31/28), (31/28, −1).

6.55. Повторяя рассуждения задачи 6.46, находим что R(x) =

=[x(1 − (−1)n) + 7 + (−1)n]/2. 6.56. Корни — 1, 2, 3.

одно — второе.

6.63. Рассмотрите многочлен f(−x).

6.69. Смотрите решение задачи 3.54. Ответ: x(m,n) − 1. 6.70. Положим

Pn(x) = P(P(P . . . (P(x)))).

| {z }

n

Это многочлен с целыми коэффициентами, причем am = Pm(a0) и am = = Pm−k(ak) при m > k. Так как Pn(x) = an +x Qn(x), где Qn(x) — также многочлен с целыми коэффициентами, то при m > k

(am, ak) = (Pm−k(ak), ak) = (am−k + akQn(ak), ak) = (am−k, ak).

Далее остается повторить рассуждения из решения задачи 3.39 6.71. x = 1.

6.72. p = 3.

6.74. Пусть P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d. Тогда, подставив эти величины в данное равенство, находим

(a + c)x3 + (−3a + b + c + d)x2 + (2a − 3b + c + d)x + 2b + d = 21.

Так как это равенство должно быть тождественным, то

a + c = 0,

− 3a + b + c + d = 0,

2a − 3b + c + d = 0,2b + d = 21.

Отсюда a = 4, b = 5, c = −4 и d = 11, то есть P(x) = 4x + 5, Q(x) =

= −4x + 11.

6.75. P(x) = 214 x + 215 , Q(x) = − 214 x + 1121.

д) (x + y − 1)(1 + x + x + y − xy + y ); е) (1 + x − y + xy)(1 − x + y + xy);

ж) 3(a+b)(a+c)(b+c); з) −5(x−y)(x−z)(y−z)(x2−xy+y2−xz−yz+z2); и) (a4−a3b+a2b2−ab3+b4)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4); к) (1+x)2(1+3x+x2); л) (a− b− c)(a+ b− c)(a− b+ c)(a+ b+ c); м) (2+ x)(6+ x)(10+ 8x+ x2).

6.83. x4 + x3 + x2 + x + 12 = (3 − 2x + x2)(4 + 3x + x2).

6.84. В случае, когда p2 − 4q < 0, выражение x2 + q/x2 + p после замены t = x + √q/x может быть разложено как разность квадратов.

6.85. 5/3(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc).

6.86. Известно, что

(x + y + z)3 − x3 − y3 − z3 = 3(x + y)(y + z)(x + z).

Докажем, что многочлен (x + y + z)m − xm − ym − zm делится на x + y. По теореме Безу, достаточно проверить, что он обращается в ноль при y = −x. Действительно, (x − x + z)m − xm − (−x)m − zm = 0. Делимость на x + z и y + z доказывается аналогично.

6.87. Разложите данное выражение на множители.

6.88. Если a + b = 0, то равенство является верным. Значит после приведения к общему знаменателю, числитель будет делиться на a + b. Аналогично, он делится на a + c и b + c. После разложения числителя на множители, решение становится очевидным.

6.89. Подставьте в левую и в правую части равенства c = −a − b. 6.91. Согласно задаче 6.90, рациональными корнями уравнения x2 − − 17 = 0 могут быть только числа ±1 и ±17. Но они не являются

корнями. Поэтому уравнение x2 −17 = 0 вообще не имеет рациональных корней.

6.92. Воспользуйтесь тем, что число α = cos 20◦ удовлетворяет уравнению

4x3 − 3x = 1/2,

которое не имеет рациональных корней. 6.93. а) x = 1, 3, −2; б) x = −1, 3.

6.94. а) x4 + x3 − 3a2x2 − 2a2x + 2a4 = (2a2 − x2)(a2 − x − x2);

б) x3 − 3x − a3 − a−3 = (a + 1/a − x)(x2 + x(a + 1/a) + a2 + 1/a2 − 1). 6.97. а) x2 − x − 2; б) x2 − 1.

6.98. Покажите, что (P(x), P0(x)) = 1. 6.99. A = n, B = −n − 1.

6.106. Можно, например, воспользоваться задачей 3.142.

6.107. а) σ1σ2 − σ3; б) σ1(σ21 − 3σ2); в) σ1(σ21 − 3σ2); г) 4σ1σ2σ3 +

+ σ21σ22 − 2σ32 − σ23 − 2σ31σ3; д) σ21 − 2σ2; е) σ41 + 4σ1σ3 + 2σ22 − 4σ21σ2.

6.108. 2.

6.109. Рассмотрите выражение (a − x)(a − y)(a − z) = a3 − a2σ1 + + aσ2 − σ3.