4. Многочлены Гаусса

Определение. Для целых неотрицательных k и l определим функции gk,l(x) равенством

gk,l(x) = (1 − xl+1)(1 − xl+2) . . . (1 − xl+k) .

11.94.Вычислите функции gk,l(x) при 0 6 k + l 6 4 и покажите, что все они являются многочленами.

11.95.Докажите следующие свойства функций gk,l(x):

hk+l(x)

а) gk,l(x) = hk(x) · hl(x) ,

где hm(x) = (1 − x)(1 − x2) . . . (1 − xm) (h0(x) = 1);

б) gk,l(x) = gl,k(x);

в) gk,l(x) = gk−1,l(x) + xkgk,l−1(x) = gk,l−1(x) + xlgk−1,l(x); г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + . . . + xkgk,l(x);

д) gk,l(x) — многочлен относительно x степени kl.

Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.

11.96. Определение функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство gk,l(1) = Ckk+l. Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 11.95 подставить значение x = 1?

11.97. Найдите сумму

Sl(x) = g0,l(x) − g1,l−1(x) + g2,l−2(x) − . . . + (−1)lgl,0(x).

11.98. Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l. Докажите равенства:

а) Pk,l(n) − Pk,l−1(n) = Pk−1,l(n − l); б) Pk,l(n) − Pk−1,l(n) = Pk,l−1(n − k); в) Pk,l(n) = Pl,k(n);

г) Pk,l(n) = Pl,k(kl − n).

11.99. Пусть fk,l(x) — производящая функция последовательности

Pk,l(n):

fk,l(x) = Pk,l(0) + xPk,l(1) + . . . + xklPk,l(kl).

а) Докажите равенства:

fk,l(x) = fk−1,l(x) + xkfk,l−1(x) = fk,l−1(x) + xlfk−1,l(x).

б) Докажите, что функции fk,l(x) совпадают с многочленами Гаусса

gk,l(x).

11.100. Докажите, что при любых k и l многочлен gk,l(x) является возвратным, то есть xklgk,l(1/x) = gk,l(x). Решите задачу двумя способами: пользуясь определением многочленов Гаусса и при помощи свойств чисел Pk,l(n) из задачи 11.98.

11.101. Докажите, что

Pkl(0) + Pkl(1) + Pkl(2) + . . . + Pkl(kl) = Ckk+l,

не используя свойства многочленов Гаусса.