Глава 10

Неравенства

В этой главе все величины, входящие в неравенства (за исключением специально оговоренных случаев), будут считаться положительными.

1.Различные неравенства

Взадачах 10.1 – 10.37 докажите неравенства.

10.1.x + 1/x > 2.

10.2.Неравенство между средним квадратическим и средним арифметическим.

r

a2 + b2 > a + b. 2 2

10.3. (a + b + c + d)2 6 4(a2 + b2 + c2 + d2).

p√ √

10.7.x2 + y2 + z2 > xy + yz + xz.

10.8.x2 + y2 + 1 > xy + x + y.

10.9.x21 + x22 + x23 + x24 + x25 > x1(x2 + x3 + x4 + x5).

10.10.x4 + y4 + 8 > 8xy.

10.12. (ab + bc + ac)2 > 3abc(a + b + c).

√√ √

10.13.2 12 x + 2 4 x > 2 · 2 6 x.

10.14.ab + bc + ac 6 0 при a + b + c = 0.

10.15.x + y < 1, при |x|, |y| < 1.

1 + xy

10.16. xαyβ 6 αx + βy, при условии, что α + β = 1 (α, β > 0).

10.17. a2b2 + b2c2 + a2c2 > abc(a + b + c).

10.18. (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) > 16abc.

10.19. (a+ b + c+ d+ 1)2 > 4(a2 + b2 + c2 + d2), при a, b, c, d [0; 1].

10.20. x4 + y4 + z2 + 1 > 2x(xy2 − x + z + 1).

10.21. (√x + √y)8 > 64xy(x + y)2 (x, y > 0).

10.22. (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc.

10.23. (a + b + c)(a2 + b2 + c2) > 9abc.

10.24. a2(1 + b4) + b2(1 + a4) 6 (1 + a4)(1 + b4).

10.25. a4 + b4 + c4 > abc(a + b + c).

10.26. a3b + b3c + c3a > abc(a + b + c).

10.27. 2(a3 + b3 + c3) > ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c).

10.33.3(a1b1 + a2b2 + a3b3) > (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) при a1 > a2 > a3, b1 > b2 > b3.

10.34.Докажите, что если

a1 > a2 > . . . > an, b1 > b2 > . . . > bn,

то наибольшая из сумм вида

a1bk1 + a2bk2 + . . . + anbkn

(k1, k2, . . . , kn — перестановка чисел 1, 2, . . . , n), это сумма a1b1 + a2b2 + . . . + anbn,

а наименьшая — сумма

a1bn + a2bn−1 + . . . + anb1.

10.38.Докажите неравенство (1+x1) . . . (1+xn) >2n, где x1 . . . xn = 1.

10.39.Докажите, что для любого натурального n справедливо нера-

венство

10.40. Докажите, что для любого натурального n сумма

лежит в пределах от 1/2 до 3/4.

10.41*. Даны рациональные положительные p, q, причем p1 + q1 = 1. Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство

(См. также 7.81.)

10.46.Как расставить скобки в выражении 22...2 , чтобы оно было максимальным?

10.47.Докажите справедливость оценок:

10.48.Докажите, что уравнение yx + yz + xz = 1 неразрешимо в натуральных числах.

2.Суммы и минимумы

10.49.Сумма минимумов и минимум суммы. Предположим, что имеется набор функций f1(x), . . . , fn(x), определенных на отрезке [a; b]. Докажите неравенство:

10.50. Докажите неравенство:

10.51. Выведите из неравенства предыдущей задачи а) неравенство Коши – Буняковского:

(c1d1 + . . . + cndn)2 6 (c21 + . . . + c2n)(d21 + . . . + d2n);

б) неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим:

r

a1 + . . . + an 6 a21 + . . . + a2n ; n n