4. Системы линейных уравнений |
139 |
а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0?
4.Системы линейных уравнений
9.90.Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч — при спуске с горы. Какое расстояние прошел Коля Васин?
Метод Гаусса. Предположим, что имеется система из n линейных уравнений от переменных x1, . . . , xn. Одним из возможных методов решения такой системы является метод Гаусса. Он заключается в том, что с помощью первого уравнения переменная x1 исключается из остальных уравнений. Затем с помощью нового второго уравнения переменная x2 исключается из всех следующих уравнений. И так далее, пока из последнего уравнения не получится значение последней переменной. После чего остальные переменные находятся в обратном порядке.
9.91. Решите системы
x − 3y + 2z − t = 3,
2x + 4y − 3z + t = 5, а) 4x − 2y + z + t = 3,
3x + y + z − 2t = 10;
x + 2y + 3z − t = 0,
x − y + z + 2t = 4,
б) x + 5y + 5z − 4t = −4,
x + 8y + 7z − 7t = −8;
x + 2y + 3z = 2,
x − y + z = 0, в) x + 3y − z = −2,
3x + 4y + 3z = 0;
x + 2y + 3z − t = 0,
x − y + z + 2t = 4,
г) x + 5y + 5z − 4t = −4,
x + 8y + 7z − 7t = 6.
9.92. На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2.
а) |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
140 |
9. Уравнения и системы |
9.93.За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает 1/4 своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и, наконец, четвертый гном 1/4 оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну? б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?
9.94.Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких
имеет бесконечно много решений.
а)
ax + y = a2, x + ay = 1;
б)
ax + ay = a2, x + ay = 2;
в)
(a + 1)x + 8y = 4a,
ax + (a + 3)y = 3a − 1;
a2x + (2 − a)y = 4 + a2, г) ax + (2a − 1)y = a5 − 2;
д)
ax + y = a3, x + ay = 1;
е)
ж)
|a|x − y = 1,
з)
x + |a|y = a.
9.95.Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения?
9.96.Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.
9.97.Имеется система уравнений
x + y + z = 0,
x + y + z = 0,x + y + z = 0.
Два человека вписывают по очереди вместо звездочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
9.98. Исследуйте системы уравнений:
4. Системы линейных уравнений |
141 |
|
|
2x + 3y = 5, |
|
|
x + ay + a2z = a3, |
||||||||||
|
|
x − y = 2, |
|
|
x + by + b2z = b3, |
||||||||||
а) |
x + 4y = a; |
г) |
x + cy + c2z = c3; |
|
|||||||||||
|
x + ay = 1, |
|
x + y + z = 1, |
|
|
||||||||||
б) |
|
2x + 4y = 2, |
д) |
ax + by + cz = d, |
|
||||||||||
|
bx + 4y = 2; |
|
a2x + b2y + c2z = d2; |
||||||||||||
|
ax + by = a, |
|
ax + by + cz = a + b + c, |
||||||||||||
в) |
|
(a − 2)x + y = 3, |
е) |
bx + cy + az = a + b + c, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y = 1; |
|
cx + ay + bz = a + b + c. |
||||||||||||
9.99. Решите системы уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x1 + x2 + x3 = 0, |
|
|
|
x1 + x2 + x3 + x4 = 2a1, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x1 |
+ x2 |
− x3 − x4 |
= 2a2, |
||||||||
|
x2 + x3 + x4 = 0, |
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
. . . . . . . . . . . . . |
в) |
x |
|
− x |
|
+ x |
|
− x |
|
= 2a , |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||
|
x99 + x100 + x1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 − x3 + x4 = 2a4; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x100 + x1 + x2 = 0; |
|
|
||||||||||||
|
x + y + z = a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x2 + 3x3 + . . . + nxn = a1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 + 2x3 + . . . + (n − 1)xn = a2, |
||||||
|
x + y + t = b, |
|
|
nx1 |
|||||||||||
б) |
x + z + t = c, |
г) |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x2 + 4x3 + . . . + xn = an. |
||||||
|
y + z + t = d; |
|
|
2x1 |
|||||||||||
9.100. Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что: а) масса каждой гири равна целому числу граммов; б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов; в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному)
числу. |
|
|
|
|
9.101. Известно, что |
|
|
|
|
|
a1 − 4a2 + 3a3 > 0, |
|||
|
|
|
+ 3a4 > 0, |
|
a2 − 4a3 |
||||
. . . . . . . . . . . . . . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
0, |
a 4a |
||||
|
|
99 − |
100 + |
1 > |
|
|
|||
a100 − 4a1 + 3a2 > 0. |
||||
Пусть a1 = 1; чему равны |
тогда числа a2, . . . , a100? |
|||