9.29. Метод Феррари. Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.

а) Докажите, что любое уравнение 4 степени можно привести к виду

б) Введем действительный параметр α и перепишем уравнение (9.4) в виде

Докажите, что для некоторого α > −A/2 правая часть равенства (9.5) превращается в полный квадрат (по переменной x). Пользуясь равенством (9.5), опишите метод нахождения корней уравнения (9.4).

2.Тригонометрические замены

9.30.Решите систему

x2 + y2 = 1, 4xy(2y2 − 1) = 1.

9.31.Решите систему

y = 2x2 − 1, z = 2y2 − 1,

x = 2z2 − 1.

9.32.Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

9.33. Среди всех решений системы

x2 + y2 = 4,

z2 + t2 = 9, xt + yz = 6,

выберете те, для которых величина x + z принимает наибольшее значение.

9.36. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение

8x(1 − 2x2)(8x4 − 8x2 + 1) = 1?

9.37. Пусть |x1| 6 1 и |x2| 6 1. Докажите неравенство

9.38. Решите уравнение

√ √

|2x − 1 − 4x2| = 2(8x2 − 1).

9.39*. Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1. Докажите, что существуют числа α, β, γ такие, что α + β + γ = π и

9.41. Пусть xy + yz + xz = 1. Докажите равенство:

9.42. Решите систему:

tg x · tg z = 3,

tg y · tg z = 6, x + y + z = π.

9.43. Решите систему:

y = x(4 − x),

z = y(4 − y), x = z(4 − z).

9.44.Решите уравнение:

r√

1 + 2x 1 − x2 + 2x2 = 1. 2

3. Итерации

Определение. Итерацией называется результат повторного применения какой-либо математической опреации. Так, если y = f(x) = = f1(x) есть некоторая функция от x, то функции f2(x) = f(f1(x)), f3(x) = f(f2(x)), . . . , fn(x) = f(fn−1(x)) называются соответственно второй, третьей, . . . , n-й итерациями функции f(x). При отыскании предела последовательности xn = fn(x0) часто оказывается полезной следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел. Аналогично, всякая убывающая последовательность, ограниченная снизу, также имеет предел. (См. [7].)

9.45. Имеются два сосуда. В них разлили 1 л. воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет 2/3 л. и 1/3 л. с точностью

до 1 миллилитра.

√

9.46. Вавилонский алгоритм вычисления 2. Последовательность чисел {xn} задана условиями:

√

Докажите, что lim xn = 2. (См. также 9.65.)

n→∞

9.47.К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи, если в качестве начального условия выбрать x0 = −1?

9.48.Итерационная формула Герона. Докажите, что последовательность чисел {xn}, заданная условиями

сходится. Найдите предел этой последовательности.

9.49. Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

9.50.Зафиксируем числа a0 и a1. Построим последовательность {an}

вкоторой

Выразите an через a0, a1 и n.

9.51. Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим

алгоритм. Строится последовательность чисел {yn}, в которой y0 — про-

→∞

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

9.52. Старый калькулятор II. Производная функции ln x при x = 1 равна 1. Отсюда

Воспользуйтесь этим фактом для приближенного вычисления натурального логарифма числа N. Как и в задаче 9.51, разрешается использовать стандартные арифметические действия и операцию извлечения квадратного корня.

9.53. Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись f(x) = x, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число x0, а затем строится последовательность {xn} по правилу xn+1 = f(xn) (n > 0). Докажите, что если эта

последовательность имеет предел x = lim xn, и функция f(x) непре-

n→∞

рывна, то этот предел является корнем исходного уравнения: f(x ) = x .

Определение. Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y = x. Затем на графике функции отмечаются точки A0(x0, f(x0)), A1(x1, f(x1)), . . . , An(xn, f(xn)), . . . , а на биссектрисе координатного угла — точки B0(x0, x0), B1(x1, x1), . . .

. . . , Bn(xn, xn), . . . Ломаная B0A0B1A1 . . . BnAn . . . называется итерационной.

9.54. Постройте итерационные ломаные для следующих данных:

9.55. Последовательность чисел {an} задана условиями

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

9.56. Для последовательности {an}

lim an+1 − an = 0.

n→∞ 2

Докажите, что lim an = 0.

n→∞

9.59. Что останется от прямоугольника? Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a − b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой

исключительной точки.

√

9.60. Алгоритм приближенного вычисления 3 a. Последовательность {an} определяется условиями:

9.61.Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения x3 − x − 1 = 0.

9.62.Последовательность чисел {an} задана условиями

Докажите, что

а) последовательность {an} ограничена;

б) |a1000 − 2| < (3/4)1000.

9.63. Найдите предел последовательности, которая задана условия-

9.64. Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f(x) отображает отрезок [a; b] в себя, и на этом отрезке |f0(x)| 6 q < 1. Докажите, что уравнение f(x) = x имеет на отрезке [a; b] единственный корень x . Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

|xn+1 − xn| 6 |x1 − x0| · qn, |x − xn| 6 |x1 − x0| · qn (n > 0).

1 − q

9.65. Докажите, что для чисел {xn} из задачи 9.46 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:

9.68. Решите систему:

y2 = 4x3 + x − 4, z2 = 4y3 + y − 4,

x2 = 4z3 + z − 4.

9.69.Последовательность чисел {xn} задана условиями:

√

x1 > −a, xn+1 = a + xn.

Докажите, что последовательность {xn} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

9.70. Игра на монотонности. Докажите, что для монотонно возрастающей функции f(x) уравнения x = f(f(x)) и x = f(x) равносильны.

q p √

9.71. Решите уравнение a + a + a + x = x.

9.72. Арифметико-геометрическое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, причем a > b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел. Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чи-

сел a, b и обозначается µ(a, b).

9.73. Арифметико-гармоническое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел. Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a

и b.

б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.

в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {bn} будет связана с последовательностью {xn} из задачи 9.48?

9.74. Геометрико-гармоническое среднее. Назовем геометри- ко-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {an} и {bn}, построенных по правилу

Обозначим его через ν(a, b). Докажите, что величина ν(a, b) связана

сµ(a, b) (см. задачу 9.72) равенством

1 = µ 1 , 1 . ν(a, b) b a

1 − x2n = x1.

9.76.Найдите с точностью до 0,01 сотый член x100 последовательности {xn}, если

а) x1 [0; 1], xn+1 = xn(1 − xn), (n > 1);

б) x1 [0,1; 0,9], xn+1 = 2xn(1 − xn), (n > 1).

9.77. Докажите, что касательная к графику функции f(x), построенная в точке с координатами (x0; f(x0)) пересекает ось Ox в точке с координатой

f(x0) x0 − f0(x0) .

9.78. Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f(x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

f(xn)

xn+1 = xn − f0(xn) ,

(начальное условие x0 следует выбирать поближе к искомому корню).

Докажите, что для функции f(x) = x2 − k и начального условия

√

x > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к k, то есть

0 √

lim xn = k.

n→∞

Как будет выражаться xn+1 через xn? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

9.79. Метод Ньютона и числа Фибоначчи. Применим метод Ньютона для приближенного нахождения корней многочлена

f(x) = x2 − x − 1.

Какие последовательности чисел получатся, если а) x0 = 1; б) x0 = 0?

К каким числам будут сходиться эти последовательности? Опишите разложения чисел xn в цепные дроби.

9.80. Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p2 − 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:

Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y , z и корнями уравнения x2 − px + q = 0.

9.81. Метод Ньютона и цепные дроби. Предположим, что цепные дроби

сходятся. Согласно задаче 9.80, они будут сходиться к корням многочлена x2 − px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона:

Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, . . . также будут совпадать с подходящими дробями к α или β. (См. также 9.65.)

9.82.Метод Ньютона не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f(x) = 0. Для многочлена f(x) = x(x − 1)(x + 1) найдите начальное условие x0 такое, что f(x0) 6= x0 и x2 = x0.

9.83.Метод Лобачевского. Пусть многочлен

P(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

имеет корни x1, x2, . . . , xn, причем |x1| > |x2| > . . . > |xn|. В задаче 6.42 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа x21, x22, . . . , x2n. На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится последова-

тельность многочленов P0(x), P1(x), P2(x), . . . такая, что P0(x) = P(x) и многочлен Pk(x) имеет корни x21k , . . . , x2nk . Пусть

Pk(x) = xn + a(nk−)1xn−1 + . . . + a(1k)x + a(0k).

Докажите, что

138 9. Уравнения и системы

9.84. Метод Лобачевского и числа Люка. Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского применить для приближенного нахождения корней многочлена x2−x−1. Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если

|x1| > |x2|?

9.85. Метод Архимеда. Для приближенного нахождения числа π рассмотрим окружность радиуса 1/2. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).

а) Найдите P4, p4, P6 и p6.

б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:

9.87. Последовательность чисел x0, x1, x2, . . . задается условиями

x0 = 1, xn+1 = axn (n > 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

9.88. Последовательность чисел a1, a2, a3, . . . задается условиями