Глава 9

Уравнения и системы

1. Уравнения третьей степени

9.1. Докажите, что

а) при p > 0 график многочлена x3 + px + q = 0 пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;

б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трех точках;

в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум при этом абсциссы точек минимума и максимума противоположны.

9.2. Докажите, что произвольное уравнение третьей степени

z3 + Az2 + Bz + C = 0

при помощи линейной замены переменной z = x + β можно привести к

x3 + x2 + x = − 13.

9.6. Докажите, что уравнение

x3 + ax2 − b = 0,

где a и b вещественные и b > 0, имеет один и только один положительный корень.

9.7. Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равенство

x3 + px + q = x3 − a3 − b3 − 3abx?

9.8. Разложите многочлен

a3 + b3 + c3 − 3abc

на три линейных множителя. (См. также 11.74.)

9.9. Выразите через a и b действительный корень уравнения

x3 − a3 − b3 − 3abx = 0.

Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

9.10. Докажите, что

(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − xz) = = X2 + Y2 + Z2 − XY − YZ − XZ,

если

X = ax + cy + bz, Y = cx + by + az, Z = bx + ay + cz.

9.11. Формула Кардано. Получите формулу для корня уравнения x3 + px + q = 0:

ss

rr

9.12.Решите уравнение x3 + x − 2 = 0 подбором и по формуле

Кардано.

9.13.Выпишите уравнение, корнем которого будет число

Запишите число α без помощи радикалов.

9.14. При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения x3 − x − a = 0.

корней оно имеет?

9.16. Докажите, что если x1, x2, x3 — корни уравнения x3+px+q = 0,

то

x22 + x2x3 + x23 = x21 + x1x3 + x23 = x21 + x1x2 + x22 = −p.

(См. также 8.13.)

126 9. Уравнения и системы

Определение. Пусть f(x) — некоторый многочлен степени n > 2, и пусть f(x) = an(x − α1) . . . (x − αn) — разложение f(x) на линейные множители. Тогда дискриминант D(f) многочлена f(x) определяется так:

Из определения D(f) ясно, что многочлен f(x) в том и только в том случае имеет кратный корень, когда D(f) = 0.

9.17. Дискриминант кубического уравнения. Пусть уравнение x3 + px + q = 0 имеет корни x1, x2 и x3. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения

D= (x1 − x2)2(x2 − x3)2(x3 − x1)2.

9.18.Докажите, что равенство

4p3 + 27q2 = 0

является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения x3 + px + q = 0.

9.19. Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения

x3 + ax2 + 18 = 0, x3 + bx + 12 = 0

имеют два общих корня, и определите эти корни.

Определение. Кривая 4p3 + 27q2 = 0 на фазовой плоскости Opq

называется дискриминантной кривой уравнения x3 + px + q = 0. Прямые ap + q + a3 = 0, соответствующие трехчленам, имеющим

корень a, называются корневыми.

9.20.Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько? (См. также 6.22.)

9.21.Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; q), для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.

9.22.Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; q), для которых все корни уравнения x3 + px + q = 0 не превосходят по модулю 1.

9.23.Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p; q), для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет три различных корня,

принадлежащих заданному интервалу (a; b). Рассмотрите, например, случай, когда a = −2, b = 4.

9.24. Метод Виета. Когда 4p3 + 27q2 < 0, уравнение x3 + px+ q = 0

имеет три действительных корня (неприводимый кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.

а) Докажите, что при p < 0 уравнение 9.1 заменой x = kt сводится к уравнению

от переменной t.

б) Докажите, что при 4p3 + 27q2 6 0 решениями уравнения (9.2) будут числа

где ϕ = arccos r.

Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

9.26.Докажите, что если корни многочлена f(x) = x3 + ax2 + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен f0(x) = 3x2 + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный

вцентре этого треугольника.

9.27.Докажите, что если уравнения

x3 + px + q = 0, x3 + p0x + q0 = 0

имеют общий корень, то

(pq0 − qp0)(p − p0)2 = (q − q0)3.

9.28. а) Докажите, что при 4p3 + 27q2 6 0 уравнение 9.1 заменой

от переменной y.

б) Докажите, что при решениями уравнения (9.3) будут числа