б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.

8.37.На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.

3.Тригонометрия

8.38.Вычислите следующие произведения:

а) sin 20◦ sin 40◦ sin 60◦ sin 80◦; б) cos 20◦ cos 40◦ cos 60◦ cos 80◦.

8.39.Докажите равенство:

cos 15π cos 2π15 cos 3π15 cos 4π15 cos 5π15 cos 6π15 cos 7π15 = 12 7.

8.40.Упростите выражение:

cos a · cos 2a · cos 4a · . . . · cos 2n−1a.

8.41. Упростите выражения:

8.42. Докажите равенство:

√

tg 20◦ · tg 40◦ · tg 80◦ = 3.

8.43. Решите уравнение:

cos π31x cos 2π31x cos 4π31x cos 8π31x cos 16π31x = 321 .

8.44. Известно, что sin β = 1/5 sin(2α + β). Докажите равенство:

tg(α + β) = 3/2 tg α.

8.45. Пусть α и β — острые и положительные углы, удовлетворяю-

щие равенствам

3 sin2 α + 2 sin2 β = 1, 3 sin 2α − 2 sin 2β = 0.

8.57. Докажите, что если сумма

a1 cos(α1 + x) + a2 cos(α2 + x) + . . . + an cos(αn + x)

при x = 0 и x = x1 6= kπ (k — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех x.

8.58.Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) =

=sin6 x + cos6 x.

8.59.Решите уравнение sin4 x + cos4 x = a.

8.60.Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

8.61.Решите уравнение tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.

8.62.Пусть α и β — различные корни уравнения a cos x + b sin x = c.

8.68.Чему равна сумма arctg x + arctg x1 ?

8.69.Докажите равенство:

где ε = 0, если xy < 1, ε = −1 , если xy > 1 и x < 0, ε = +1, если xy > 1

иx > 0.

8.70.Докажите равенство:

4 arctg 15 − arctg 2391 = π4 .

8.71. Докажите равенство:

если числа a1, a2, . . . , an+1 образуют арифметическую прогрессию с разностью r (a1 > 0, r > 0).

8.74. Докажите, что числа Фибоначчи {Fn} удовлетворяют соотно-

p √

arcsin x + arcsin y = η arcsin(x 1 − y2 + y 1 − x2) + επ,

122 8. Алгебра + геометрия

где η = 1, ε = 0, если xy < 0 или x2 + y2 6 1; η = −1, ε = −1, если x2 + y2 > 1, x < 0, y < 0; η = −1, ε = 1, если x2 + y2 > 1, x > 0, y > 0.

(См. также 8.12.)

8.84.Покажите, что из соотношений (8.4) и дополнительных условий 0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π, a > 0, b > 0, c > 0 следуют равенства (8.3).

8.85.Теорема косинусов. Докажите, что соотношения (8.4) рав-

носильны системе

то есть из равенств (8.4) вытекают равенства (8.5) и наоборот.

8.86. Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами α, β, γ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для

него справедлива теорема синусов (8.7) и две теоремы косинусов (8.6), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A,

cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos C,

и, кроме того, величины α, β, γ и A, B, C заключены между 0 и π. Докажите, что

8.87. Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6) следуют равенства

cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos α,

cos B = − cos A cos C + sin A sin C cos β,

где 2p = α + β + γ.

8.88. Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества:

(См. также 8.11.)

8.89. Пусть

sin 2nx · sin(2n − 1)x · . . . · sin(2n − k + 1)x uk = sin kx · sin(k − 1)x · . . . · sin x .

Докажите, что числа uk можно представить в виде многочлена от cos x. (См. также 3.142.)

8.90. Пусть числа uk определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества:

а) 1−u1 +u2 −. . .+u2n = 2n(1−cos x)(1−cos 3x)·. . .·(1−cos(2n−1)x);