Глава 8

Алгебра + геометрия

1.Геометрия помогает алгебре

8.1.Докажите, что сумма векторов, направленных из центра правильного n-угольника в его вершины, равна нулю.

8.2.Докажите равенства:

в) sin 9◦ + sin 49◦ + sin 89◦ + . . . + sin 329◦ = 0. (См. также 7.26.)

8.3. Вычислите

а) cos π9 cos 4π9 cos 7π9 ; б) cos π7 + cos 3π7 + cos 5π7 .

8.4.Найдите cos 36◦ и cos 72◦.

8.5.а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36◦ при вершине несоизмеримы (т. е. их отношение иррационально).

8.7. Докажите равенство:

arctg 1 + arctg 12 + arctg 13 = π2 .

8.8. Докажите равенство:

ctg 30◦ + ctg 75◦ = 2.

8.9.Пусть x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = 1. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).

8.10.Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам 5 6 x, y, z 6 8. Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина

S= 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 − x4 − y4 − z4 ?

8.11.Найдите все корни xk уравнения

cos x + cos 2x + cos 3x + 12 = 0.

Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos xk? (См. также 7.58, 8.88.)

8.12. Решите систему

ay + bx = c,

cx + az = b, bz + cy = a.

Какой геометрический смысл она имеет? (См. также 8.83.)

8.13. Положительные числа a, b, c, x, y, z таковы, что

x2 + xy + y2 = a2, y2 + yz + z2 = b2, x2 + xz + z2 = c2.

Выразите величину xy + yz + xz через a, b и c. (См. также 9.16.)

2.Комплексные числа и геометрия

Взадачах этого пункта точки на комплексной плоскости отождествляются с числами. Поэтому с точками можно будет проделывать различные арифметические операции. Например, под суммой двух точек z1 и z2 будем понимать точку плоскости, соответствующую числу z1 + z2.

8.14. Пусть z1 и z2 — фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек z, удовлетворяющих соотношениям:

называется отношением трех точек (трех комплексных чисел) z2, z1, z0.

8.15. Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке z0 и проходящими через точки z1 и z2, равен аргументу отношения

V(z2, z1, z0) точек z2, z1, z0.

8.16. Докажите, что три точки z2, z1, z0 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда V(z2, z1, z0) — вещественное число, или

8.17. Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и z2 — это геометрическое место точек z, для которых

8.18. Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде

Bz − Bz + C = 0,

где C — чисто мнимое число.

8.19. Докажите, что условием того, что четыре точки z0, z1, z2, z3 лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа

Определение. Комплексное число

V(z0, z1, z2)

W(z0, z1, z2, z3) = V(z0, z1, z3)

называется двойным отношением четырех точек (четырех комплексных чисел) z0, z1, z2, z3.

8.20. Инвариантность двойного отношения. Пусть z10 , z20 , z30 , z40 — четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение (7.1) переводит данные четыре точки z1, z2, z3, z4. Докажите, что

W(z10 , z20 , z30 , z40 ) = W(z1, z2, z3, z4).

8.21. Как изменяется двойное отношение W(z1, z2, z3, z4) при действии отображения (7.2)?

8.22.Круговое свойство дробно-линейных отображений.

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую прямую линию или окружность снова в прямую линию или окружность.

8.23.Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде

где A и C — чисто мнимые числа.

8.24.Докажите, что уравнение (8.1) при отображениях w = z + u

иw = R/z переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений.

Определение. Инверсией относительно окружности S с центром O и радиусом R называется преобразование плоскости, переводящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A0, лежащую на луче OA на расстоянии OA0 = R2/OA. Образом точки O считается бесконечно удаленная точка, а образом бесконечно удаленной точки, соответственно, точка O.

Инверсией относительно окружности S будем также называть инверсией с центром O и коэффициентом R2, а окружность S — окружностью инверсии.

8.25.Докажите, что отображение w = 1/z является инверсией относительно единичной окружности.

8.26.Представьте в виде композиции дробно-линейного отображе-

тельно окружности

а) с центром i и радиусом R = 1; б) с центром Reiϕ и радиусом R; в) с центром z0 и радиусом R.

8.27.Круговое свойство инверсии. Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

8.28.Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид (8.1). Пусть образ этой линии при отображении (7.1) задается уравнением

A0zz + B0z − B0z + C0 = 0,

где A0 и C0 также чисто мнимые числа. Выразите A0, B0 и C0 через A,

B и C.

Определение. Степенью точки A относительно окружности радиуса R с центром в точке O называется величина |OA|2 − R2.

8.29. Докажите, что степень точки w относительно окружности

Azz + Bz − Bz + C = 0

равна

ww+ AB w − AB w + AC .

8.30.Радикальная ось двух окружностей. Докажите, что геометрическое место точек w, степень которых относительно двух неконцентрических окружностей S1 и S2 одинакова, является прямой.

Такая прямая называется радикальной осью окружностей S1 и S2.

8.31.Радикальный центр трех окружностей. На плоскости даны три окружности S1, S2 и S3. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.

Точка Q называется радикальным центром окружностей S1, S2 и S3.

8.32.Ортоцентр треугольника. Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1. Докажите, что точка h = a1 + a2 + a3 является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1, a2 и a3.

8.33.Окружность Эйлера. Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1. Докажите, что окружность с центром

вточке e = h/2 и радиусом 1/2 проходит через середины сторон треугольника a1a2a3, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины a1, a2, a3 с ортоцентром h.

8.34.Цертр масс треугольника. Докажите, что точка m = (a1 + + a2 + a3)/3 является точкой пересечения медиан треугольника a1a2a3.

8.35.Прямая Эйлера. Докажите, что в произвольном треугольнике точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой.

8.36.Прямая Симпсона. Пусть u — точка на единичной окружности zz = 1 и u1, u2, u3 — основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 треугольника a1a2a3.

а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам

u1 = (a2 + a3 + u − a2a3/u)/2, u2 = (a1 + a3 + u − a1a3/u)/2, u3 = (a1 + a2 + u − a1a2/u)/2.