110 |
7. Комплексные числа |
7.78.Найдите все корни уравнения (z − 1)n = (z + 1)n. Чему равна сумма квадратов корней этого уравнения?
7.79.Докажите, что все корни уравнения a(z − b)n = c(z − d)n, где a, b, c, d — заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой. (См. также 7.10.)
7.80.Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство
X |
|
|
|
|
|
n−1 |
1 |
|
|
n2 − 1 |
|
sin2 |
(πm/n) |
= |
3 |
. |
|
m=1
7.81*. Ряд обратных квадратов. а) Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство
(n−1)/2 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
= |
π2 |
− |
π2 |
θ (0 < θ < 1). |
|
|
m2 |
|
6 |
2n |
|||
|
|
|
|
||||
m=1
б) Докажите тождество:
X∞ 1 = π2 . m2 6
m=1
7.82*. Положительные многочлены. Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения. Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) = = a2(x) + b2(x).
2. Преобразования комплексной плоскости
Будем пользоваться обозначениями:
Ta — параллельный перенос на вектор a;
Sl — симметрия относительно прямой l (осевая симметрия с осью l); RαA — поворот вокруг точки A на угол α против часовой стрелки; HkA — гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k.
7.83. Во что перейдет треугольник с вершинами в точках: 0, 1 − i, 1 + i в результате преобразования
w = |
1 |
i |
z? |
||
√ |
|
+ √ |
|
||
22
7.84.Во что перейдет угол α с вершиной в начале координат в результате преобразования w = z3?
2. Преобразования комплексной плоскости |
111 |
7.85. Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:
а) w = z + a; б) w = 2z; в) w = z(cos ϕ + i sin ϕ); г) w = z?
7.86.Как представить в виде w = f(z) симметрию относительно прямой l проходящей через начало координат под углом ϕ к оси Ox?
7.87.Выразите в виде w = f(z) следующие геометрические преоб-
разования:
а) H2 |
◦ |
T3+4i; |
в) Riπ/4; |
д) H12 |
H−1/21 ; |
|
|
O |
|
г) HAk ; |
π/4◦ |
π/4 |
π/4 |
π/4 |
|
б) T3+4i ◦ HO2 ; |
е) Ri |
◦ R−1 |
◦ R−i |
◦ R1 . |
|||
Здесь точка O = (0; 0) — начало координат. Композиция преобразований делается справа налево: (f ◦ g)(z) = f(g(z)).
7.88.Представьте гомотетию H2i в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке O.
7.89.Теорема о трех центрах подобия. Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:
k2 |
k1 |
Ta, k1k2 = 1, |
|
HA2 |
◦ HA1 |
= HAk , k1k2 |
= 1, |
|
|
|
6 |
причем в первом случае вектор a параллелен прямой A1A2, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A1A2 и
k= k1 · k2.
7.90.Постройте образ квадрата с вершинами A(0; 0), B(0; 2), C(2; 2), D(2; 0) при следующих преобразованиях:
а) w = iz; б) w = 2iz − 1; в) w = z2; г) w = z−1.
7.91. Куда переходит полоса 2 < Re z < 3 при отображениях: а) w = z−1; б) w = (z − 2)−1; в) w = (z − 5/2)−1?
7.92. Найдите √
а) образ окружности |z−a−bi| = a2 + b2 при отображении w = 1/z;
2aR
б) образ окружности |z − a| = R при отображении w = z2 − a2 + R2 .
7.93*. Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей равна n2; б) сумма всех сторон и всех диагоналей равна n ctg 2nπ ;
в) произведение всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.
112 7. Комплексные числа
Определение. Дробно-линейными отображениями комплексной плоскости называются преобразования, записываемые формулами
w = |
az + b |
, |
(7.1) |
|||||
cz + d |
||||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ b |
|
|
||
w = |
az |
, |
(7.2) |
|||||
|
|
+ d |
||||||
|
|
cz |
|
|
||||
где δ = ad − bc 6= 0.
7.94.Как действуют отображения (7.1) и (7.2) в случае, когда δ =
=ad − bc = 0?
Определение. Расширенной комплексной плоскостью C называет-
ся комплексная плоскость C, к которой добавлена бесконечно удаленная точка ∞ = 10, то есть C = C {∞}.
7.95.Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости.
7.96.Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида (7.1) может быть получено композицией параллельных переносов
иотображения вида w = R/z.