Глава 7

Комплексные числа

1. Комплексная плоскость

Определение. Комплексными числами называются числа вида z = = x + iy, где x и y — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, то есть число, квадрат которого равен −1; x называется

действительной или вещественной частью z, а y — мнимой частью

(обозначается x = Re z, y = Im z). Числа z с x = 0, y 6= 0 называются чисто мнимыми. Число z = x − iy называется комплексно сопряженным

к числу z = x + iy. Множество всех комплексных чисел обозначается C.

7.1. Пусть z = x + iy, z0 = x0 + iy0. Найдите

Определение. Каждому комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие точка (x; y) на координатной√плоскости Oxy и вектор с теми же координатами. Длина вектора r = x2 + y2 называется модулем числа z (r = |z|). Угол ϕ, отложенный на плоскости Oxy против часовой стрелки от оси Ox до вектора (x; y), называется аргументом числа z (r = arg z). Обычно считается, что функция arg z принимает значения от − π до π.

Если |z| = r, arg z = ϕ, то комплексное число z может быть записано в виде z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Такая запись называется тригонометрической формой числа z. Представление z = x + iy называется алгебраической формой числа z.

7.3. Докажите равенства:

а) z + z = 2 Re z; б) z − z = 2i Im z; в) z · z = |z|2.

7.4.Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:

7.6. Какие множества на комплексной плоскости описываются сле-

7.7.Найдите min |3 + 2i − z| при |z| 6 1.

7.8.Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости:

а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси; б) первый квадрант, не включая координатных осей;

в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстоянии, меньшем двух;

г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке O, расположенный не выше действительной оси.

7.9.Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, удовлетворяющих условию |z − 1 − i| = 2|z + 1 − i|.

7.10.Окружность Аполлония. Докажите, что на комплексной плоскости равенством |z − a| = k|z − b| при k 6= 1 задается окружность (a и b — действительные числа).

7.11.Докажите, что для произвольных комплексных чисел z1 и z2 выполняется равенство

|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2).

Какой геометрический смысл оно имеет?

7.12. Докажите, что при любых вещественных aj, bj (1 6 j 6 n) выполняется неравенство

p

(a1 + a2 + . . . + an)2 + (b1 + b2 + . . . + bn)2 6

p p

p

6 a21 + b21 + a22 + b22 + . . . + a2n + b2n.

7.13.Докажите, что если x + iy = (s + it)n, то x2 + y2 = (s2 + t2)n.

7.14.Тождество Фибоначчи. Докажите равенство:

(a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av − bu)2.

(См. также 1.6.)

7.15.Докажите, что квадратные корни из комплексного числа z =

=a + ib находятся среди чисел

Как нужно выбрать знак пред вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа? (См.

7.17. Решите в комплексных числах следующие квадратные урав-

7.18. Решите в комплексных числах уравнения:

7.19.Как выглядит формула для корней биквадратного уравнения x4 + px2 + q = 0, если p2 − 4q < 0?

7.20.Докажите, что если |z| = 1 (z 6= −1), то для некоторого дей-

ствительного t справедливо равенство z = (1 + it)(1 − it)−1.

√

7.21. Постройте график функции y(x) = |x + x2 − 1| (x — произвольное действительное).

7.22. Пусть точка z движется по единичной окружности против часовой стрелки. Опишите движение следующих точек

7.23. Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами −1 − i, 2 − i, 2 + 2i, −1 + 2i. Как при этом ведут себя точки

7.33.Докажите, что многочлен x44 + x33 + x22 + x11 + 1 = 0 делится на x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.

7.34.Вычислите:

а) cos 2π7 + cos 4π7 + cos 6π7 ; б) cos 2π7 · cos 4π7 · cos 6π7 .

7.35. а) Докажите, что многочлен

P(x) = (cos ϕ + x sin ϕ)n − cos nϕ − x sin nϕ

делится на x2 + 1.

б) Докажите, что многочлен

Q(x) = xn sin ϕ − ρn−1x sin nϕ + ρn sin(n − 1)ϕ

делится на x2 − 2ρx cos ϕ + ρ2.

7.36. Докажите тождества

где Tn(z) и Un(z) — многочлены степени n. Вычислите эти многочлены в явном виде для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Определение. Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

7.38. Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn(x) и Un(x) удовле-

7.39. Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты — целые числа.

7.40*. Известно, что cos α◦ = 1/3. Является ли α рациональным числом?

7.41.Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. 6.90), докажите, что если p/q Q и cos(p/q)◦ 6= 0, ± 1/2, ± 1, то cos(p/q)◦ — число иррациональное.

7.42.Докажите, что

где a0, . . . , an, b0,. . . , bn−1 — рациональные числа. Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. Выразите sinn x при четном n в

7.43. Известно, что sin α = 3/5. Докажите, что sin 25α имеет вид

n , где n — целое, не делящееся на 5.

525

7.44.Последовательность многочленов P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =

=x2 − 1, . . . задается условием

Pn+1(x) = x Pn(x) − Pn−1(x).

Докажите, что уравнение P100(x) = 0 имеет 100 различных действительных корней на отрезке [−2; 2]. Что это за корни?

7.45.Докажите равенство:

1 + i tg α n = 1 + i tg nα. 1 − i tg α 1 − i tg nα

7.46.Докажите, что если z + z−1 = 2 cos α, то zn + z−n = 2 cos nα. Как выражается zn + z−n через y = z + z−1? (См. также 1.5.)

7.47.При подстановке в многочлены Чебышёва числа x = cos α получаются значения

Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число x = sin α?

7.48. Пусть a, b — натуральные числа и (a, b) = 1. Докажите, что

√ √

величина ( a + i b)n не может быть действительным числом за исключением случаев (a; b) = ( ± 1; ± 1), ( ± 1; ± 3), ( ± 3; ± 1).

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени n (n >1), с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно n (с учетом кратности) комплексных корней. (См. [20], [217].)

7.49.Пусть многочлен с действительными коэффициентами f(x) имеет корень a+ib. Докажите, что число a−ib также будет корнем f(x). (См. также 7.82.)

7.50.Докажите, что произвольный многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой

ивторой степени, которые также будут иметь действительные коэффициенты.

7.51.Формула Эйлера. Пусть a и b — действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел

равенством

ea+ib = lim 1 + a + ib n. n→∞ n

Докажите формулу Эйлера:

ea+ib = ea(cos b + i sin b).

Докажите также, что функции sin x и cos x допускают следующие представления через комплексную экспоненту:

(См. также 5.35, 11.73 и 12.12.)

7.52.Докажите, что для любых комплексных чисел z1, z2 справедливо равенство ez1 ez2 = ez1+z2 . (См. также 11.73.)

7.53.Перепишите формулы Муавра, используя вместо тригонометрических функций комплексную экспоненту.

7.54.Как определить функцию ln z для комплексного аргумента z?

7.55.Как на комплексной плоскости определить показательную функцию az? (См. также 12.12.)

7.56.Придайте смысл равенству √i −1 = (−1)1/i ≈ 2317.

7.57.Пусть z = e2πi/n = cos 2πn + i sin 2πn . Для произвольного целого a вычислите суммы

а) 1 + za + z2a + . . . + z(n−1)a; б) 1 + 2za + 3z2a + . . . + nz(n−1)a.

7.58.а) Докажите равенство:

cos ϕ + . . . + cos nϕ = sin(nϕ/2) cos((n + 1)ϕ/2) ; sin(ϕ/2)

б) Вычислите сумму:

sin ϕ + . . . + sin nϕ.

(См. также 8.11.)

7.59. Докажите равенство:

sin α + sin 3α + . . . + sin(2n − 1)α = tg nα. cos α + cos 3α + . . . + cos(2n − 1)α

7.60. Вычислите суммы:

а) cos2 x + cos2 2x + . . . + cos2 2nx; б) sin2 x + sin2 2x + . . . + sin2 2nx.

7.61. Используя разложение (1 + i)n по формуле бинома Ньютона, найдите суммы:

а) C0100 − C2100 + C4100 − . . . + C100100; б) C199 − C399 + C599 − . . . − C9999.

7.62. а) Докажите равенство:

C0n − C2n + C4n − . . . = 2n/2 cos nπ4 .

б) Вычислите сумму:

C1n − C3n + C5n − . . .

7.63. а) Докажите равенство:

1 + C3n + C6n + . . . = 13 2n + 2 cos nπ3 .

7.65. Вычислите суммы:

а) 1 + a cos ϕ + . . . + ak cos kϕ + . . . (|a| < 1); б) a sin ϕ + . . . + ak sin kϕ + . . . (|a| < 1);

в) cos ϕ + C1n cos 2ϕ + . . . + Cnn cos(n + 1)ϕ; г) sin ϕ + C1n sin 2ϕ + . . . + Cnn sin(n + 1)ϕ.

7.66. Найдите предел

7.67. Пусть z1, . . . , zn — отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости α < arg z < α + π. Докажите, что

а) z1 + . . . + zn 6= 0; б) z−1 1 + . . . + z−n1 6= 0.

7.68. Пусть z1, z2, . . . , zn — вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек

z = λ1z1 + λ2z2 + . . . + λnzn,

где λ1, λ2, . . . , λn — действительные положительные числа такие, что

λ1 + λ2 + . . . + λn = 1.

7.69. Докажите, что корни уравнения

где a, b, c — попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

7.70. Пусть f(x) = (x−a)(x−b)(x−c) — многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

7.71. Теорема Гаусса – Люка. Пусть f(x) — многочлен степени n

с корнями α1, . . . , αn. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α1, . . . , αn на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

7.72. При каких n

а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1? б) многочлен x2n − xn + 1 делится на x2 − x + 1?

7.73.Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение (a + 1)2n+1 + an + 2 делится на a2 + a + 1.

7.74.При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на:

а) x2 + x + 1; б) (x2 + x + 1)2; в) (x2 + x + 1)3?

7.75. При каких n многочлен (x + 1)n − xn − 1 делится на: а) x2 + x + 1; б) (x2 + x + 1)2; в) (x2 + x + 1)3?

7.76.Пусть (x − 1) | P(xn). Докажите, что (xn − 1) | P(xn).

7.77.Найдите остаток от деления многочлена

P(x) = x6n + x5n + x4n + x3n + x2n + xn + 1

на

Q(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1,

если известно, что n кратно 7.