98 |
6. Многочлены |
Найдите все такие многочлены.
6.119. Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0. Докажите, что 2a4 + 2b4 + 2c4 — квадрат целого числа.
6.120. Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.
6.121. При каких a и b уравнение x3 + ax + b = 0 имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?
6.122. Путь a, b, c — стороны треугольника, p — его полупериметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство
ab1 + bc1 + ac1 = 2rR1 .
6.123. Решите в натуральных числах систему
x + y = uv, u + v = xy.
6.124. В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
а) 4x3 − 18x2 + 24x |
= 8, |
4x3 − 18x2 + 24x = 9; |
б) 4x3 − 18x2 + 24x |
= 11, |
4x3 − 18x2 + 24x = 12? |
6. Интерполяционный многочлен Лагранжа
6.125. Решите уравнение
c |
(x − a)(x − b) |
+ b |
(x − a)(x − c) |
||
(c − a)(c − b) |
|
(b − a)(b − c) |
|||
|
|
||||
6.126. Докажите тождество
c2 (x − a)(x − b) + b2 (x − a)(x − c) (b − a)(b − c)
+a (x − b)(x − c) = x. (a − b)(a − c)
+a2 (x − b)(x − c) = x2. (a − b)(a − c)
6.127. Пусть x1 < x2 < . . . < xn — действительные числа. Постройте многочлены f1(x), f2(x), . . . , fn(x) степени n−1, которые удовлетворяют условиям fi(xi) = 1 и fi(xj) = 0 при i 6= j (i, j = 1, 2, . . . , n).
6.128. Опишите явный вид многочлена
f(x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x),
6. Интерполяционный многочлен Лагранжа |
99 |
где fi(x) — многочлены из предыдущей задачи.
6.129. Пусть x1 < x2 < . . . < xn — действительные числа. Докажите, что для любых y1, y2, . . . , yn существует единственнный многочлен f(x) степени не выше n − 1 такой, что f(x1) = y1, . . . , f(xn) = yn.
6.130. Пусть A, B и C — остатки от деления многочлена P(x) на x − a, x − b и x − c. Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение (x − a)(x − b)(x − c).
Определение. Многочлен степени не выше n−1, значения которого в данных точках x1, . . . , xn (узлах интерполяции) совпадают с заданными числами y1, . . . , yn, называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
6.131. Какие остатки дает многочлен f(x) из предыдущей задачи на многочлены вида (x − xi)? Проинтерпретируйте этот факт при помощи китайской теоремы об остатках для многочленов (см. 6.51).
6.132. Постройте многочлены f(x) степени не выше 2, которые удовлетворяют условиям:
а) f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 3;
б) f(−1) = −1, f(0) = 2, f(1) = 5; в) f(−1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 4.
6.133. Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова. В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно. Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?
6.134. Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов равнялись 5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?
6.135. На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трехчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трехчлена.
6.136. Решите систему
z + ay + a2x + a3 = 0,z + by + b2x + b3 = 0,z + cy + c2x + c3 = 0.
100 6. Многочлены
6.137. Пусть a, b и c — три различных числа. Докажите, что из
системы |
|
x + ay + a2z = 0, |
|
|
|
||
|
x + by + b2z = 0, |
||
|
|
2 |
z = 0, |
|
x + cy + c |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
следуют равенства x = y = z = 0.
6.138. Про многочлен f(x) = x10 + a9x9 + . . . + a0 известно, что
f(1) = f(−1), . . . , f(5) = f(−5).
Докажите, что f(x) = f(−x) для любого действительного x.
6.139. Пусть P(x) = anxn + . . . + a1x + a0 — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что хотя бы одно из чисел
|3n+1 − P(n + 1)|, . . . , |31 − P(1)|, |1 − P(0)|
не меньше 1.
6.140. Докажите, что если f(x) есть многочлен, степень которого меньше n, то дробь
f(x)
(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)
(x1, x2, . . . , xn — произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:
A1 |
+ |
A2 |
+ . . . + |
|
An |
, |
x − x1 |
x − x2 |
|
||||
|
|
x − xn |
||||
где A1, A2, . . . , An некоторые константы. (См. также 6.51.)
6.141. Решите систему
|
x1 |
|
+ |
x2 |
|
+ . . . + |
xn |
|
|
a − b |
|
a − b |
|
a − b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x1 |
1 |
|
1 x2 |
2 |
|
1 xn |
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 − b1 |
+ |
a2 − b2 |
+ . . . + |
a2 − bn |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an − b1 |
|
+ |
an − b2 |
+ . . . + |
an − bn |
|||
=1,
=1,
=1.